Espaces uniformes, semi-métriques
dans Topologie
Bonjour
Je suis en train de lire le chapitre sur les espaces semi-métriques et uniformes du livre Topologie de Christol, Cot et Marne.
Une définition me chagrine, celle d’application uniformément continue entre deux espaces semi-métriques. Avant de vous la présenter, je vous précise que j’appelle espace semi-métrique un ensemble $E$ muni d’une famille d’écarts $\mathcal{E}$, un écart étant une application $e:E\times E \rightarrow \overline{\mathbf{R_+}}$ telle que $e(x,x) = 0$ , symétrie et inégalité triangulaire.
Voici donc la définition : Soient $(E,\mathcal{E})$ et $(F,\mathcal{F})$ deux espaces semi-métriques. On dit qu’une application $h:E\rightarrow F$ est uniformément continue si pour tout écart $f\in \mathcal{F}$ et pour tout $\varepsilon >0$, il existe une famille finie $(e_1,\ldots,e_n)$ et un réel $\eta>0$ tels que, pour tous $x,y\in E$, $\sup_{i} e_i(x,y) \leq \eta$ implique $f\big(h(x),h(y)\big) \leq \varepsilon$
Pourquoi demande-t-on une famille finie et pas simplement un seul ? Dois-je comprendre une faute de frappe et pour toute famille finie ?
Deuxièmement, après avoir défini les familles d’écarts uniformément équivalentes et les espaces uniformes, les auteurs proposent une construction due à André Weil des espaces uniformes, et j’aurais deux ou trois questions dessus, mais si vous le voulez bien, restons sur la première pour l’instant ;-)
Au plaisir de vous lire.
Je suis en train de lire le chapitre sur les espaces semi-métriques et uniformes du livre Topologie de Christol, Cot et Marne.
Une définition me chagrine, celle d’application uniformément continue entre deux espaces semi-métriques. Avant de vous la présenter, je vous précise que j’appelle espace semi-métrique un ensemble $E$ muni d’une famille d’écarts $\mathcal{E}$, un écart étant une application $e:E\times E \rightarrow \overline{\mathbf{R_+}}$ telle que $e(x,x) = 0$ , symétrie et inégalité triangulaire.
Voici donc la définition : Soient $(E,\mathcal{E})$ et $(F,\mathcal{F})$ deux espaces semi-métriques. On dit qu’une application $h:E\rightarrow F$ est uniformément continue si pour tout écart $f\in \mathcal{F}$ et pour tout $\varepsilon >0$, il existe une famille finie $(e_1,\ldots,e_n)$ et un réel $\eta>0$ tels que, pour tous $x,y\in E$, $\sup_{i} e_i(x,y) \leq \eta$ implique $f\big(h(x),h(y)\big) \leq \varepsilon$
Pourquoi demande-t-on une famille finie et pas simplement un seul ? Dois-je comprendre une faute de frappe et pour toute famille finie ?
Deuxièmement, après avoir défini les familles d’écarts uniformément équivalentes et les espaces uniformes, les auteurs proposent une construction due à André Weil des espaces uniformes, et j’aurais deux ou trois questions dessus, mais si vous le voulez bien, restons sur la première pour l’instant ;-)
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Réponses
Je pense que la définition est correcte. Si on remplaçait le passage qui te gêne par "il existe $e \in \mathcal E$ tel que ..." on en demanderait beaucoup plus sur $f$ : tous les points indiscernables selon cet écart devraient prendre des valeurs indiscernables à l'image pour tout écart $f$. Le fait de demander l'existence d'une famille finie d'écarts tellle qu'on ait l'implication permet de relaxer cela, des points indiscernables pour un écart peuvent ne pas l'être pour un autre.