Soit $X\subset\R^n$ une hypersurface non-compacte lisse connexe orientable dont les groupes d'homologie $H_i(X,\Z)=0$ pour tout $i\not=0$. Est ce que $X$ est un hyperplan topologique?
Pareil pour la cohomologie. Pour que ça soit vrai il faut prendre la cohomologie à support compact, ou l'homologie de Borel-Moore.
@DinoHN : je pense que c'est faux. Une idée : on peut obtenir des sphères d'homologie non-triviales en regardant l'intersection de certaines hypersurfaces $X \subset \Bbb R^n$ avec une sphère $S$. Soit $x \in X \cap S$, alors $X \cap S \setminus \{x\}$ a le même type d'homologie que $\Bbb R^n$. Comme $X \cap S$ n'est pas topologiquement équivalent à une sphère, peut-être que $X \cap S \setminus \{x\}$ n'est pas topologiquement équivalent à $\Bbb R^{n-1}$. Ceci répondrait à la question en utilisant la projection stéréographique.
Pour répondre à la question initiale, il me semble qu'en prenant simplement un ouvert contractile de ${\mathbb R }^n $, non homéomorphe à ${\mathbb R }^n $, dans ${\mathbb R }^{n+1}$, on obtient un contre-exemple. De tels ouverts existent déjà dans ${\mathbb R }^3 $ (variétés de Whitehead), qui ne sont pas simplement connexes à l'infini.
Là tu as sacrément lu les hypothèses entre les lignes, Lupulus !
Si, par fermée, tu veux dire compacte, alors l'hypersurface $X$, connexe et orientable, devrait avoir son $H_{n-1}(X,\Z) = \Z$, et dans ce cas, $X$ n'a pas le type d'homotopie d'un hyperplan.
@marsup : je voulais dire fermé en tant que sous-espace topologique, ce qui n'implique pas compact, par exemple un hyperplan est bien fermé dans $\Bbb R^n$.
@totocov : l'un n'empêche pas l'autre, mais attendons peut-être de voir si DinoHN peut préciser ses hypothèses …
Mon exemple était non compact. Mais aussi malheureusement il marche pour les hypersurfaces complexes, par conséquent il donne une sous-variété de codimension $2$. Je ne sais pas si ça marche aussi pour les hypersufaces réelles, le mieux serait de voir le livre de Milnor sur les singularités d'hypersurfaces.
Plus de détails sur la preuve : il est bien connu qu'il existe une hypersurface complexe $X \subset \Bbb C^n$ tel que $S \cap X$ est une sphère d'homologie. Pour les courbes ce n'est pas possible, pour les surfaces on peut par exemple regarder $x^2 + y^3 + z^5 = 0$. (dans ce cas $\pi_1 = SL_2(\Bbb Z/5 \Bbb Z)$ !)
En particulier, si $x \in X \cap S := X'$, alors $X' \setminus \{x\}$ n'a pas de groupes d'homologie non nul (à part $H_0$ en regardant la longue suite exacte) mais n'est pas homéomorphe à $\Bbb R^{2n -3}$. En effet, si $X' \setminus \{x\}$ est homéomorphe à $\Bbb R^{2n-3}$ alors étant son compactifié d'Alexandroff $X'$ est une sphère topologique ce qui est une contradiction.
Par conséquent, $Y$ est une sous-variété algébrique de codimension $2$ dans $S \setminus \{x\} \cong \Bbb R^{2n-1}$ (le dernier isomorphisme est algébrique donnée par la projection stéréographique).
Réponses
Du coup pour distinguer $S^2$ de $\mathbf{R}^2\times\{0\}$ dans $\mathbf{R}^3$ cela me semble insuffisant.
@DinoHN : je pense que c'est faux. Une idée : on peut obtenir des sphères d'homologie non-triviales en regardant l'intersection de certaines hypersurfaces $X \subset \Bbb R^n$ avec une sphère $S$. Soit $x \in X \cap S$, alors $X \cap S \setminus \{x\}$ a le même type d'homologie que $\Bbb R^n$. Comme $X \cap S$ n'est pas topologiquement équivalent à une sphère, peut-être que $X \cap S \setminus \{x\}$ n'est pas topologiquement équivalent à $\Bbb R^{n-1}$. Ceci répondrait à la question en utilisant la projection stéréographique.
Si, par fermée, tu veux dire compacte, alors l'hypersurface $X$, connexe et orientable, devrait avoir son $H_{n-1}(X,\Z) = \Z$, et dans ce cas, $X$ n'a pas le type d'homotopie d'un hyperplan.
En revanche la question initiale porte sur une hypersurface lisse pas algébrique.
@totocov : l'un n'empêche pas l'autre, mais attendons peut-être de voir si DinoHN peut préciser ses hypothèses …
@Frédéric Bosio: Est ce que tu as un lien?
@Lupulus: Désolé encore, j'ai oublié l'hypothèse de non-compacité.
Plus de détails sur la preuve : il est bien connu qu'il existe une hypersurface complexe $X \subset \Bbb C^n$ tel que $S \cap X$ est une sphère d'homologie. Pour les courbes ce n'est pas possible, pour les surfaces on peut par exemple regarder $x^2 + y^3 + z^5 = 0$. (dans ce cas $\pi_1 = SL_2(\Bbb Z/5 \Bbb Z)$ !)
En particulier, si $x \in X \cap S := X'$, alors $X' \setminus \{x\}$ n'a pas de groupes d'homologie non nul (à part $H_0$ en regardant la longue suite exacte) mais n'est pas homéomorphe à $\Bbb R^{2n -3}$. En effet, si $X' \setminus \{x\}$ est homéomorphe à $\Bbb R^{2n-3}$ alors étant son compactifié d'Alexandroff $X'$ est une sphère topologique ce qui est une contradiction.
Par conséquent, $Y$ est une sous-variété algébrique de codimension $2$ dans $S \setminus \{x\} \cong \Bbb R^{2n-1}$ (le dernier isomorphisme est algébrique donnée par la projection stéréographique).