Sous ensemble fermé ?
Bonjour,
On considère l’espace topologique $\ell^2$ des suites de réels dont la somme des carrés converge, muni de sa classique norme $\Vert \cdot \Vert_2$.
Est-ce que $B=\left\{x\in \ell^2:\sum_{n\geq1}n|x_n|^2\leq1\right\}$ est un fermé de $\ell^2$? J’avoue que je bloque lamentablement... ce ne doit pourtant pas être une question bien compliquée!
Merci!
On considère l’espace topologique $\ell^2$ des suites de réels dont la somme des carrés converge, muni de sa classique norme $\Vert \cdot \Vert_2$.
Est-ce que $B=\left\{x\in \ell^2:\sum_{n\geq1}n|x_n|^2\leq1\right\}$ est un fermé de $\ell^2$? J’avoue que je bloque lamentablement... ce ne doit pourtant pas être une question bien compliquée!
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Réponses
as-tu essayé le critère séquentiel ? ( j'ai pas essayé mais de tête cela me parait bien)
- Séquentielle
- Le complémentaire est ouvert
- Image réciproque d’un fermé par une application continue.
Sans succès pour l’instant.
Merci pour ta réponse... Que je vais devoir analyser pour en comprendre les détails. En particulier pour me convaincre que $T$ est un opérateur compact.
Sinon, vois-tu une "démonstration directe", i.e. sans passer par la structure hilbertienne de $\ell^2$?
Pour tout $\epsilon>0$ il existe $N$ tel que pour tous $p,q\geqslant N$ on a $||a^{(p)}-a^{(q)}||^2\leqslant \epsilon$.
On a alors pour tout $M$, $\sum_{n=1}^M |a^{(p)}_n-a^{(q)}_n|^2\leqslant \epsilon$. On fait tendre $q$ vers l'infini puis $M$ vers l'infini pour en déduire que $a^{(k)}$ tend vers $b$.
J'aurais effectivement du penser au fait que $B$ étant borné, je pouvais extraire une sous-suite convergente d'une suite quelconque de $B$!
J'observe déjà que pour tout $N$ et tout $a\in B$, on a $\sum_{n\geqslant N} n|a_n|^2\leqslant 1$ donc $\sum_{n\geqslant N} |a_n|^2\leqslant \frac{1}{N}$.
On en déduit que $\forall k$, $\sum_{n\geqslant N} |a^{(k)}_n-b_n|^2\leqslant 2\sum_{n\geqslant N} |a^{(k)}_n|^2+|b_n|^2\leqslant \frac{4}{N}$.
Soit $\epsilon>0$. On fixe $N>\frac{8}{\epsilon}$. Il existe $K$ tel que pour tout $k\geqslant K$ on a $\sum_{n<N} |a^{(k)}_n-b_n|^2\leqslant \frac{\epsilon}{2}$. On a alors, pour tout $k\geqslant K$, $||a^{(k)}-b||^2\leqslant\epsilon$.
Je reviens sur ta réponse ci-dessus. Quand tu disais que $T$ est un opérateur compact, tu avais une autre voie de démonstration que de prouver que $B$ est compact? Du style $B$ est inclus dans un compact « évident » ?
Tu as un compact pour la convergence simple qui est aussi un compact pour la convergence uniforme (c'est évident par l'ANS, je ne sais pas comment c'est ressenti par d'autres yeux, ne pouvant plus me mettre à leur place), et EN PLUS il m'a tout l'air d'être convexe et on est dans un Hilbert tout bête, "le" Hilbert des étudiants.
N'y a t-il pas une raison (sans, comme tu l'as demandé, entrer dans du Hilbertisme pro) pour conclure ? (Je pose la question sérieusement et sans connaitre la réponse, car je ne sais plus par coeur si la convexité garantit à la convergence uniforme d'impliquer la convergence $L2$)
Franchement, passer (si je ne me trompe pas) par ces étapes seraient profitable pour toi, non?