Homologie du cercle

paulinho
paulinho
dans Topologie
Bonjour, J'ai un souci sur le calcul de l'homologie du cercle.
On peut recouvrir $S^1$ par deux ouverts, $U=S^1 \setminus \{(0, -1)\} $ et $V=S^1 \setminus \{(0,1)\}$ , ensuite je définis une suite de Mayer-Viietoris.
$\ldots 0 \rightarrow H_1 (S^1) \rightarrow H_0 (U \cap V) \rightarrow H_0 (U) \oplus H_0 (V) \rightarrow H_0 (S^1) \rightarrow 0$

$H_0(S^1) = \Z $ car $S^1$ connexe.
$H_0 (U) \oplus H_0 (V)= \Z \oplus \Z $ car $V$ et $U$ homotopes à un point,
$H_0 (U \cap V)= \Z^2$
Au final j'ai la suite $\ldots 0 \rightarrow H_1 (S^1) \rightarrow \Z^2 \rightarrow \Z \oplus \Z \rightarrow \Z \rightarrow 0$
Mon problème : comment calculer $H_1(S^1)$ en utilisant la suite de Mayer-Viietoris (je sais que $H_1(S^1)= \Z$ ) ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Quelle est la différence entre $\Z^2$ et $ \Z \oplus \Z$ ?
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonsoir,

    Sauf erreur de ma part, dans $ 0 \to H_1 (S^1 ) \to \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0 $, avec : $ f : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $, on a :$ \ker f = H_1 (S_1) $ et $ \mathrm{coker} f = \mathbb{Z} $, et $ \ker f \simeq \mathrm{coker} f $, non ?
    N'oublie pas que :
    $ 0 \to H_1 (S^1 ) \to \mathbb{Z}^2 $ signifie que : $ H_1 (S^1 ) \to \mathbb{Z}^2 $ est injectif, et $ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0 $ signifie que $ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ est surjectif.
    Non ?

    Edit : Croisement avec le message de Poirot.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    A ce niveau là tu as deux options :

    1) Remarque que $H^1(S^1) \to \Z^2$ est injective, donc $H^1(S^1)$ est sans torsion : que se passe-t-il si tu tensorises ta suite exacte avec $\Q$ ?
    2) Les morphismes de la suite de Mayer-Vietoris ne sont pas quelconques, tu en connais certains : explicite les et tu devrais voir précisément quelle est l'injection $H^1(S^1) \to \Z^2$, et en déduire qui est $H^1(S^1)$
  • paulinho
    paulinho
    Il n'y pas de différence. Mais j'ai toujours un problème.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Sauf erreur de ma part, dans la catégorie des groupes, il y'a une différence entre $ \mathbb{Z}^2 $ et $ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $, parce que la catégorie des groupes n'est pas additive, mais s'il s'agit de groupes abéliens, alors là oui, la catégorie des groupes abéliens est une catégorie additive, et donc $ \times = \oplus = \coprod $.
    Si on est dans une catégorie non additive, $ \oplus $ n'existe pas généralement, et on se contente de jouer seulement avec : $ \times $. Non ?
  • paulinho
    paulinho
    J'ai l'impression que je ne comprends pas très bien ce qui ce passe dans la suite de Mayer-Vietoris avec noyau et image... Pourquoi $Kerf =H_1(S^1)$ c'est une propriété de la suite ?
  • paulinho
    paulinho
    De manière générale je sais que que le noyau du morphisme suivant est égal à l'image de la précédente.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Paulinho : ta suite commence par $0\to H_1(S^1) \to \Z^2 \to \Z^2$, l'exactitude en le premier $\Z^2$ te dit exactement ça. Mais n'écoute pas Pablo, il baragouine en utilisant des mots compliqués qui ne sont pas pertinents et ne t'avancent à rien. Aucune de mes deux méthodes ne te plait ?

    Pablo : ne parle pas de catégories sur un truc aussi basique s'il-te-plaît, ce n'est pas pertinent. $\Z^2$ et $\Z\oplus \Z$ sont isomorphes, c'est tout (voire égaux, selon la construction qu'on a de $\oplus$, mais ce n'est pas important ici)
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    On pose : $ f : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $
    On pose : $ i : H_1 ( S^1 ) \to \mathbb{Z}^2 $.
    Puisque la suite est exacte en $ \mathbb{Z}^2 $, alors : $ \mathrm{im} \ i = \ker f $ ( i.e : $ \mathrm{im} \ i =i ( H_1 (S^1 ) ) = H_1 (S^1 ) = \ker f $ ).
  • paulinho
    paulinho
    Ok, Merci a Tous.
    Maxtimax j'ai pas regardé ta méthode 1) Parce que j'ai pas les notions de produit tensoriel.
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