Adhérence dans un non métrisable

Bonjour

Je considère l'espace $E$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, muni de la topologie de la convergence simple (qui est la topologie produit sur $E=\prod_{x\in\mathbb{R}}\mathbb{R}_x$, où pour tout $x\in\mathbb{R},\ \mathbb{R}_x=\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$...)
Note : Une prébase de cette topologie est la famille des $U_{x,y,y'}=\{f\in E \mid y<f(x)<y'\}$ indexée par les triplets $(x,y,y')$ de réels avec $y<y'$.

Je considère le sous-espace $F$ de $E$ des fonctions "presque nulles" (i.e nulles partout sauf en un nombre fini de points).
Il est facile de voir que cet espace est dense dans $E$ (la donnée d'un rectangle élémentaire non vide fournit immédiatement une fonction presque nulle dans ce rectangle).

Mais pourtant, et c'est ce qui impliquera la non métrisabilité de la topologie, il y a des éléments de $E$ qui ne sont pas limites d'éléments de $F$.
J'aimerais en exhiber un. Je tente ma chance avec la fonction $g$ constante égale à $1$.

Par l'absurde, s'il elle était limite d'une suite $(f_n)$ d'éléments de $F$, on aurait que pour tout $x\in \mathbb{R},\ f_n(x)\to 1$
Comme $1\neq 0$, pour chaque $x$ fixé, on peut trouver un entier $N_x$ tel que pour tout $n\geq N_x, ~~f_n(x)\neq 0$ (ceci est clair).

J'aimerais en quelque sorte tuer la dépendance en $x$, et avoir un entier $N$ tel que $f_N$ est non nulle sur une partie infinie... ce qui contredit $f_N\in F$.

Pourriez-vous m'aider ?