Fermé dans $\R^{n}$

arthurserres
arthurserres
dans Topologie
Bonjour à tous j'aimerais savoir comment montrer que sous-espace vectoriel de $\R^{n}$ est fermé ?
En particulier je ne possède pas la notion d'espace complet, j'aimerais si possible une preuve aussi simple que possible.
Merci d'avance.

Réponses

  • melpomène
    melpomène
    Salut,


    tout sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ est l'intersection d'un nombre fini d'hyperplans. Comme un hyperplan est l'image réciproque de $\{0\}$ par une application continue (laquelle ?), c'est gagné.
  • Poirot
    Poirot
    Ça tourne un peu en rond, mais tout sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ est noyau d'une certaine projection, qui est continue.
  • arthurserres
    arthurserres
    Merci. Je crois que c'est clair néanmoins je ne suis pas sur que ma preuve de la continuité soit juste pouvez vous me dire comment faire ca correctement ?
  • melpomène
    melpomène
    Ecris ta preuve ici, on te dira si c'est bon ou pas.
  • arthurserres
    arthurserres
    Je me donne un sev $V$ de $\R^{n}$, on peut donc considérer $B=(v_1,\ldots,v_k)$ une base de $V$ qu'on peut ensuite compléter en $(v_1,\ldots,v_n)$ une base de $\R^{n}$. On considère alors l'application projection (qu'on notera $f$) de $\R^{n}$ sur span $Vect(v_{k+1},\ldots,v_n)$ qui à $a_1v_1+\cdots+a_nv_n$ associe $a_{k+1}v_{k+1}+\cdots+a_nv_n$ qui est bien définie. On a bien $\ker(f) = V$.
    On veut maintenant montrer que $f$ est continue.
    On peut considérer la norme infinie sur $(v_1,\ldots,v_n)$, alors on peut remarquer que la fonction qui à $a_1v_1+\cdots+a_nv_n$ associe $a_jv_j$ est trivialement continue. Dès lors $f$ se présente comme une somme de fonctions continue et est donc continue.
  • math2
    math2
    Le fait que tu puisses choisir la norme que tu souhaites utilise l'équivalence des normes sur $\R^n$, il y a là dedans de la complétude cachée. En effet, par exemple sur des $\Q$-e.v. de dimension finie, tu peux fabriquer des normes non équivalentes.
  • arthurserres
    arthurserres
    Malheureusement je n'ai pas encore abordé cette notion dans mes cours néanmoins j'ai prouvé que deux normes sont équivalents sur R^n en montrant qu'une norme N donnée est équivalente à la norme euclidienne (étude de N sur la sphère unité --> fonction continue pour la norme 2 sur un compact --> atteint ses bornes ).
  • melpomène
    melpomène
    math2 a raison. Le problème par arthurserres est mal posé:

    soit on veut le montrer pour la topologie engendrée par n'importe quelle norme, soit on le veut pour une norme spécifique (même si c'est évidemment pareil en dim. finie)

    De toute façon, tout revient à savoir démontrer que les projections $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$ sont continues. Une fois qu'on a cela, on obtient que toute forme linéaire est continue, donc que tout hyperplan est fermé.

    Si on veut éviter cet écueil, il suffit de dire que l'on met la topologie produit sur $\mathbb{R}^n$. Dans ce cas, les projections sont continues , par définition même de la topologie produit. Plus besoin de normes...

    EDIT: @arthurserres: ben si tu sais que toutes les normes sont équivalentes, c'est facile. Tu prends la norme sup, et tu as immédiatement la continuité des projections.
  • arthurserres
    arthurserres
    Je rate peut-être quelque chose mais pour rendre ca évident il me semble important de prendre la norme sup sur la base (v1,...,vn) car avec la norme sup sur la base canonique je ne vois pas vraiment pourquoi cette fonction est continue non ?
  • melpomène
    melpomène
    Tu n'as pas compris l'argument que j'ai donné. Relis mon dernier message. Avec la norme sup (si tu tiens à utiliser une norme), tu montres que les projections de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}$ sont continues, donc toutes les formes linéaires de $\mathbb{R}$. Donc le noyau d'une forme linéaire est fermé, i.e. tout hyperplan est fermé, et donc tout sous-espace, comme intersection d'hyperplans.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    De toute façon un hyperplan est un fermé de Zariski donc il n'y a pas trop de question de norme/complétude ici. Il y a une question de "quelle est la topologie sur $\R^n$ ?". Dès lors que c'est une topologie qui a plus d'ouverts que Zariski, en particulier dès qu'elle rend continus les polynômes, c'est gagné.
    Ici comme le fait remarquer melpomène on n'a besoin que de la continuité des formes linéaires. Il faut donc "bêtement" se mettre d'accord sur quelle topologie on utilise (quelle norme si on y tient) et prouver (très facilement si c'est une norme, pas moins facilement si c'est la topologie produit) que les formes linéaires sont continues.
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