Fermé dans $\R^{n}$
dans Topologie
Bonjour à tous j'aimerais savoir comment montrer que sous-espace vectoriel de $\R^{n}$ est fermé ?
En particulier je ne possède pas la notion d'espace complet, j'aimerais si possible une preuve aussi simple que possible.
Merci d'avance.
En particulier je ne possède pas la notion d'espace complet, j'aimerais si possible une preuve aussi simple que possible.
Merci d'avance.
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Réponses
tout sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ est l'intersection d'un nombre fini d'hyperplans. Comme un hyperplan est l'image réciproque de $\{0\}$ par une application continue (laquelle ?), c'est gagné.
On veut maintenant montrer que $f$ est continue.
On peut considérer la norme infinie sur $(v_1,\ldots,v_n)$, alors on peut remarquer que la fonction qui à $a_1v_1+\cdots+a_nv_n$ associe $a_jv_j$ est trivialement continue. Dès lors $f$ se présente comme une somme de fonctions continue et est donc continue.
soit on veut le montrer pour la topologie engendrée par n'importe quelle norme, soit on le veut pour une norme spécifique (même si c'est évidemment pareil en dim. finie)
De toute façon, tout revient à savoir démontrer que les projections $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$ sont continues. Une fois qu'on a cela, on obtient que toute forme linéaire est continue, donc que tout hyperplan est fermé.
Si on veut éviter cet écueil, il suffit de dire que l'on met la topologie produit sur $\mathbb{R}^n$. Dans ce cas, les projections sont continues , par définition même de la topologie produit. Plus besoin de normes...
EDIT: @arthurserres: ben si tu sais que toutes les normes sont équivalentes, c'est facile. Tu prends la norme sup, et tu as immédiatement la continuité des projections.
Ici comme le fait remarquer melpomène on n'a besoin que de la continuité des formes linéaires. Il faut donc "bêtement" se mettre d'accord sur quelle topologie on utilise (quelle norme si on y tient) et prouver (très facilement si c'est une norme, pas moins facilement si c'est la topologie produit) que les formes linéaires sont continues.