Limite d'une suite

topo29 · March 2019

Bonsoir,
J'ai cette topologie sur $\mathbb R$, $$
\tau=\big\{\emptyset,~\mathbb{R},~ \{\sqrt{2}\},~ \mathbb{Q},~ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},~\mathbb{Q}\cup\{\sqrt{2}\} \big\}
$$ et la suite c'est $(u_n)=(\sqrt{n})$

On est sûr que $\sqrt{2}$ n'est pas une limite, j'ai un doute sur le nombre de nombres naturels avec un carré parfait,
Parce que s'il y en a une infinité alors la suite ne converge pas mais si je me trompe ???
Merci.

Poirot · March 2019

Ça ne ressemble pas vraiment à une topologie...

AD · March 2019

Bonsoir topo29
L'élément $\sqrt 2$ n'est pas une partie de $\mathbb R$, peut-être voulais-tu prendre le singleton $\{\sqrt2\}$.
Mais alors ta "topologie" n'est pas stable par union : $\mathbb Q\cup\{\sqrt2\} \notin \tau$.
Alain

topo29 · March 2019

oui je vais corriger, merci

topo29 · March 2019

est-ce qu'il y a une infinité de nombres naturels avec un carré parfait ?

gerard0 · March 2019

Ce n'est toujours pas une topologie.

Je n'ai rien compris à "On est sûr que $\sqrt 2$ n'est pas une limite, j'ai un doute sur le nombre de nombres naturels avec un carré parfait,
Parce que s'il y en a une infinité alors la suite ne converge pas mais si je me trompe ??? "

Il est évident qu'il y a une infinité d'entiers qui sont des carrés parfaits, mais je ne vois pas le rapport avec la topologie (mal) propsée.

Cordialement.

Dom · March 2019

@topo29
Définition : un nombre $u$ entier est un carré parfait lorsqu'il existe un nombre entier $n$ tel que $u=n^2$.

Tu demandes : "est-ce qu'il y a une infinité de nombres naturels avec un carré parfait ?"

Oui, c'est presque "immédiat" ou "évident" mais ne sois pas gêné par ces termes entre guillemets, ça ne prouve rien.

Limite d'une suite

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