Frontière d’un ouvert

camyl · March 2019

Bonsoir, soit (E,T) un espace topologique et A une partie de E.
On désigne par Fr(X) la frontière de X pour toute partie X de E.
On désigne par les int(X) l’intérieur de X.
La question est de montrer que Fr(int(A)) est incluse dans Fr(A).

Bon je n’ai pas de souci avec la demo c’est direct, on utilise le fait que l’intérieur de l’intérieur est l'interieur et on utilise la définition de frontière.
Mon problème est plus sur la signification de tout cela, je n’arrive pas à ‘’imaginer’’ cette inclusion, j’aimerais bien avoir plus d’explications sur ça si possible.
Merci par avance.

Boole et Bill · April 2019

Bonjour,
Dans $\R$ par exemple, l’ensemble $]0,1[\cup \{2\}$ a pour frontière $\{0,1,2\}$ alors que son intérieur a pour frontière $\{0,1\}$

Boole et Bill · April 2019

Plus généralement, revenons aux définitions. Je reprends tes notations. Un point $x\in E$ sera un point frontière de $A$ s’il est adhérent à $A$ et à $X\backslash A$, i.e. si tout voisinage de ce point rencontre à la fois $A$ et $X\backslash A$. L’idée est que quand tu prends l’intérieur de $A$, tu risques de perdre les potentiels points isolés de $A$ par exemple, qui étaient (sous certaines hypothèses sur la topologie $\mathcal{T}$) des points frontières de $A$

Frontière d’un ouvert

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Bonjour!

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