Espace vectoriel normé, compact et point fixe

Merci pour la réponse !

La suite qui à $n$ associe $\frac{1}{n}(x+u(x)+u^2(x)+\cdots+u^{n-1}(x))$ est continue sur un compact donc admet une valeur adhérence que je note $l$. Si elle en a 2, que je note $l$ et $l'$ alors la quantité suivante vérifie : $$
l-l'=\frac{1}{n}(u^{\psi(n-1)}(x)+\cdots+u^{\phi (n-1)}(x)) + \epsilon
$$ Et donc elles sont égales parce que $1/n$ tend vers zéro et l'autre membre est borné.

Toute application qui admet une unique valeur d'adhérence converge donc la quantité souhaitée a une limite $L$. Maintenant j'aimerais bien utiliser le lemme de Cesàro mais la réciproque ne marche pas pour montrer que c'est une valeur d'adhérence de $u$ comment je fais ?

Merci pour la réponse !

Une suite continue ça n'existe pas, je voulais dire application continue.
$\frac{1}{n}(x+u(x)+u^2(x)+\cdots+u^{n-1}(x))$ est dans $K$ car si $x$ est dans $K$, et $u(x)$ est dans $K$ (ce qui est bien le cas), alors étant donné que $K$ est convexe, $1/2(x+u(x))$ est dans $K$. Le $1/n$ en fait il empêche d'utiliser la convexité tel que je la connais avec $\lambda ,~ {1- \lambda}$, comment faire pour montrer que ça appartient bien à $K$ ? Est-ce qu'un ensemble convexe a son barycentre à l'intérieur ?

Je pense que le "l'autre terme est borné" mais je n'arrive pas à le montrer, peut-être en disant que $u$ est linéaire donc que $u(x)$ est inférieur à $Kx$ ?
En fait j'ai confondu valeur d'adhérence et point fixe c'est pour ça.

Si j'arrive à montrer la convergence, en composant par $u$ l’égalité (grâce à la continuité de $u$) de $l$ avec la série, j'ai $u(l)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(x+u(x)+u^2(x)+\cdots+u^{n-1}(x))-\frac{x}{n}+\frac{u^n(x)}{n}$ et qui tend vers $l$
Donc $u(l)=l$ !

Merci pour l'explication !

$-\frac{x}{n}+\frac{u^n(x)}{n}$
tend vers zéro parce que $x$ est dans un compact donc l'ensemble est borné puis x est borné en norme par une constante réelle qui est C, et comme n tend vers l'infini $\frac{x}{n}$ tend vers 0. La suite $(u^n(x))$ est à valeurs dans un compact donc est bornée donc $\frac{u^n(x)}{n}$ tend vers 0.

Ensuite, $S_n=\frac{1}{n}(x+u(x)+u^2(x)+\cdots+u^{n-1}(x)) \in K$
parce que tout sous ensemble d'un convexe est stable par passage au barycentre (je l'ai donc montré par recurrence, l'astuce c'est de multiplier et diviser par n afin de faire apparaitre $\frac{n}{n+1}$ et $\frac{1}{n+1})$, et là j'utilise le fait que toute suite à valeurs dans un compact a une valeur d'adherence; donc $S_n$ en a une que j'appelle l. Donc $S_{\psi(n)}$ tend vers l et en composant par u, grâce à la continuité de u j'obtiens u(l)=l (étant donné que $\psi(n)$ tend vers l'infini quand n tend vers l'infini)