Addition et produit de deux fractions

hasnaemath · April 2019

Bonjour tout le monde,
J'ai en fait deux questions qui apparaissent très simples mais leurs démonstrations mathématiques s'avèrent plutôt difficiles.

1) Pourquoi l’addition de deux fractions n’ayant pas le même dénominateur ne se fait pas ; il faut d'abord réduire au même dénominateur ? Et comment le démontrer mathématiquement ?

2) Pourquoi ne fait-on pas la même chose pour calculer leurs produits (càd de deux fractions) ? Et comment le démontrer mathématiquement aussi ?

Merci beaucoup d'avance

Dom · April 2019

Bonsoir,

Définition et propriété :
Lorsque $a$ et $b$ sont deux nombres non nuls, on note $\dfrac{a}{b}$ l'unique nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.

On a donc : quels que soient les nombres $a$ et $b$ non nuls, il existe un nombre et un seul $u$ tel que $u \times b = a$. On choisit de le noter $\dfrac{a}{b}$

Avec ça on démontre les deux théorèmes que tu proposes et bien d'autres.
On admet aussi la commutativité, l'associativité, la distributivité...

Quels que soient $a, b, c, d, k$ des nombres non nuls :
1) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ak}{bk}$
2) $a\times \dfrac{b}{c}=\dfrac{ab}{c}$
3) $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}= \dfrac{ac}{bd}$
4) $\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}$

Remarque : Quels que soient les nombres strictement positifs $a, b, c, d$ on a : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a+c}{b+d}$

Pour les démonstrations, on peut utiliser toujours la même méthode :
Il suffit de multiplier le membre de gauche par le dénominateur du membre de droite.
Si on trouve comme résultat, le numérateur du membre de droite, alors d'après la définition/propriété, par unicité, on a bien démontré l'égalité voulue.

A plus tard.

Dom

soland · April 2019

Phase heuristique et exploratoire, évitant la massue des définitions tombant du ciel comme un éclair par beau temps.

On postule que pour tout $\;a\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}\;$ et pour tout $\;b\in\mathbb{Z}\;$ l'équation $\;ax=b\;$ a une solution, que l'on note $b/a$.
Question : Etant donné deux fractions $\;p=b/a\;$ et $\;q=d/c\;$, comment donner un sens à l'écriture $\;p+q\;$ en respectant les règles de calcul valables dans $\mathbb{Z}$ (principe d'extension) ? Comment construire une équation $\;ux=v\;$ dont la solution s'écrirait $\; p+q \;$ ?

Retour à la définition.
(1) $\;ap=b\;$ par hypothèse,
(2) $\;cq=d\;$ par hypothèse.
Eclair de génie : Il faut construire un même coefficient devant $p$ et devant $q$ :
$c$(1) $\;cap=cb\;$
$a$(2) $\;acq=ad\;$
On additionne et on fait le ménage (mise en évidence) :
$ac(p + q) = cb+ad$
Et on constate que $\;p+q\;$ est solution de l'équation $\; ac\,x = cb+ad \;$ !!

Conclusion :
Pour que la construction de l'ensemble des fractions soit cohérente avec la structure de $\mathbb{Z}$
il faut nécessairement poser $\;\ b/a+d/c=(cb+ad)/(ac) ;$

Reste à montrer que cette construction est un succès...

Cidrolin · April 2019

Dans quelques cas l'addition peut se faire ainsi :

$\dfrac{2}{7}+\dfrac{6}{7}=\dfrac{26}{77}+\dfrac{62}{77}=\dfrac{88}{77}=\dfrac{8}{7}$

ou bien

$\dfrac{512}{837}+\dfrac{485}{837}=\dfrac{512485+485512}{837837}=\dfrac{997}{837}$

gebrane · April 2019

hasna a écrit:

1) Pourquoi l’addition de deux fractions n’ayant pas le même dénominateur ne se fait pas ; il faut d'abord réduire au même dénominateur ?

Ce n'est pas nécessaire de réduire au même dénominateur
exemples
$\frac 42+\frac 93=2+3=5$
$\frac 12+\frac 14=0.5+0.25=0.75=\frac {75}{100}=\frac 34$

soland · April 2019

@gebrane
Dans ton addition la fin se lit $2/1+3/1=5/1$
Ces fractions ont le même dénominateur.

Lors de la construction du corps des fractions toutes ont un dénominateur.
On montre ensuite que $z\mapsto z/1$ est un morphisme injectif de $\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Q}$
et après seulement on se permet d'identifier $z/1$ à $z$.

Quant à l'écriture décimale, elle ne convient pas dans tous les cas.

Corrigé après une remarque de Math Coss.

hasnaemath · April 2019

Merci beaucoup à tous ceux qui ont essayé de répondre à ma question :-)

Boole et Bill · April 2019

Bonjour hasnaemath,
À quel niveau es-tu ? Sais-tu ce qu’est un anneau ?

fm_31 · April 2019

Bonjour
À un niveau très terre à terre, on peut simplement dire qu'on peut ajouter des tiers et des cinquièmes comme on ajoute des choux et des navets c'est-à-dire qu'on a en final un tas de légumes qu'on ne peut réduire à autre chose.
Mais on peut ajouter des quinzièmes avec des quinzièmes
2 tiers + 3 cinquièmes = 10 quinzièmes + 9 quinzièmes = 19 quinzièmes
Cordialement.

gerard0 · April 2019

Bonjour Hasnaemath.

Tu poses la question "Pourquoi l’addition de deux fractions n’ayant pas le même dénominateur ne se fait pas ..?"
Si, si, elle se fait. Les égyptiens du temps des pharaons (*) connaissaient par cœur des tables d'addition avec des formules du genre $\frac 1 3 +\frac 1 6 = \frac 1 2$ ou $\frac 1 2 + \frac 1 6 = \frac 2 3$ (**).
Mais comme il est facile de réduire au même dénominateur et d'éviter de de remplir la mémoire de calculs inutiles, on apprend aux élèves à réduire au même dénominateur. Et de plus, ce sera utile plus tard pour les fractions rationnelles, où on utilise la même méthode.
NB : C'est aussi, en calcul algébrique, une méthode de factorisation.

Cordialement.

(*) enfin, les scribes calculateurs; les autres leur laissaient faire les calculs.
(**) ils utilisaient essentiellement des fractions $\frac 1 n$ plus la fraction $\frac 2 3$.

Addition et produit de deux fractions

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