Contre-exemples topologiques
Bonjour tout le monde, j'aimerais connaître tous vos exemples de topologies peu importe sur quels ensembles, qui fournissent des contre-exemples à des énoncés purement topologiques.
Par exemple, auriez-vous un exemple d'un espace topologique non muni de la topologie discrète pour lequel une de ses parties est discrète pour la topologie induite mais non dénombrable ?
Par exemple, auriez-vous un exemple d'un espace topologique non muni de la topologie discrète pour lequel une de ses parties est discrète pour la topologie induite mais non dénombrable ?
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Réponses
Autres exemples :
-Toutes les suites à valeurs dans $\{0;1\}$ de $\ell^\infty$.
-Tous les $(\alpha, 0 )$ avec $\alpha\in \Omega$ de la longue droite.
-On prend une réunion disjointe (non dénombrable) de segments $[0;1]$ puis on met sur cet espace la distance $d(x,y) = 1$ si $x$ et $y$ ne sont pas sur le même segment et $|x-y|$ sinon. Une famille ayant un point dans chaque segment est non dénombrable et discrète.
etc.
Tu veux un exemple de machin. Mais sache que (je réponds au 1er post) que TOUS les espaces métriques assez grands ont un sous espace discret qui edt grand. C'est un exemple du contraire que tu ne risques pas de trouver (peut être si tu renonces à AC) chez les métriques. Je pense que c'est mieux de te le laisser en exo?
Indication: prends An maximal à contenir des pts deux à deux à distance au moins 1/n et réunis les puis prends l'adhérence.
Un site utile : la $\pi$-base. On peut entrer une propriété et demander des contre-exemples ou une preuve.
Mais la question donnée en exemple ne peut pas être recherchée. Elle me fait penser à la chose suivante : les propriétés des anneaux (euclidien, noetherien, principal, etc.) ne sont en général pas stables par sous-anneau car elles sont en général vérifiées pour les corps mais pas par tout anneau principal. Ici la question est : est-ce que la propriété d'être muni de la topologie discrète (et d'être indénombrable) est stable par passage à un sur-espace. Les propriétés topologiques (qui sont locales et non triviales) ne sont pas stables par prise d'un sur-espace car on peut toujours prendre l'union d'un espace la vérifiant avec un ne la vérifiant pas et obtenir un espace ne la vérifiant pas...