Définition d'une variété
dans Topologie
Bonjour
Dans plusieurs ouvrages que j'ai consultés on définit une variété différentielle comme un espace topologique localement homéomorphe à $\mathbb{R}$ séparé.
J'ai l'impression que la première hypothèse implique la deuxième. La preuve qui suit est donc certainement fausse, mais je ne vois pas l'erreur.
Soit $M$ un espace topologique localement homéomorphe à $\mathbb{R}^n$. Soit $x,y \in M$. Il existe un ouvert $W$ de $M$ et un homéomorphisme $\phi$ de $W$ sur un ouvert $O$ de $\mathbb{R}^n$, tel que $x,y \in W$. Il existe $U,V$ des ouverts de $\mathbb{R}^n$ tels que $\phi (x) \in U$, $\phi (y) \in V$ et $U \cap V = \emptyset$. Alors $\phi^{-1}(U) \cap W$ et $\phi^{-1}(V)\cap W$ sont des ouverts de $M$ qui séparent $x$ et $y$. Donc $M$ est séparé.
Quelqu'un peut voit l'erreur ?
Cordialement,
Jojo
Dans plusieurs ouvrages que j'ai consultés on définit une variété différentielle comme un espace topologique localement homéomorphe à $\mathbb{R}$ séparé.
J'ai l'impression que la première hypothèse implique la deuxième. La preuve qui suit est donc certainement fausse, mais je ne vois pas l'erreur.
Soit $M$ un espace topologique localement homéomorphe à $\mathbb{R}^n$. Soit $x,y \in M$. Il existe un ouvert $W$ de $M$ et un homéomorphisme $\phi$ de $W$ sur un ouvert $O$ de $\mathbb{R}^n$, tel que $x,y \in W$. Il existe $U,V$ des ouverts de $\mathbb{R}^n$ tels que $\phi (x) \in U$, $\phi (y) \in V$ et $U \cap V = \emptyset$. Alors $\phi^{-1}(U) \cap W$ et $\phi^{-1}(V)\cap W$ sont des ouverts de $M$ qui séparent $x$ et $y$. Donc $M$ est séparé.
Quelqu'un peut voit l'erreur ?
Cordialement,
Jojo
Réponses
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Salut,
D'abord, petite coquille, ce serait plutôt phi(x) appartient à U et phi(y) appartient à V, non ?
Ensuite, je ne suis pas sûr de moi mais je dirais que dire qu'un espace M est localement homeomorphe à R^n revient à dire que quelque soit le point que tu choisis dans M, il existe un voisinage de ce point et un homeomorphisme phi défini sur ce voisinage à valeurs dans R^n.
Or ici, tu considères un ouvert W contenant x et y (ce que tu peux faire : prendre M par exemple) mais rien ne te permet de dire que tu disposes de ton homeomorphisme phi.
N'hesites pas à me demander si ce n'est pas très clair
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Regarde l'espace suivant : deux copies de $ \mathbb R $ avec à chaque fois $ x $ identifié à $ x $ sauf en $ 0 $. Peux-tu trouver un voisinage des deux $ 0 $ homéomorphe à $ \mathbb R^n $ ?
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"Séparé" a deux sens :
$T_1$ : chaque point est en dehors d'un voisinage de chaque autre (point distinct).
$T_2$ : chaque point a un voisinage disjoint d'un voisinage de chaque autre (point distinct).
Il est vrai qu'un espace localement cartésien (localement homéomorphe à un (ouvert de) $\R^n$) est séparé $T_1$ (et je crois que ta démonstration ci-dessus a la bonne idée)
En revanche l'exemple de Maxtimax est localement cartésien, mais n'est pas $T_2$. -
Juste pour être sûr, en prenant comme définition de séparé le fait que deux points distincts admettent des voisinages disjoints, ai-je raison dans mon premier message ?
-
Non, c'est la propriété séparé $T_2$, et Maxtimax t'a donné un contre-exemple.
-
Voici comment je dirais les choses pour le caractère $T_1$.
Soient $x,y$ deux points distincts de $M$.
Montrons qu'il existe un ouvert $U\subset M$ contenant $x$, mais pas $y$.
Soit $\phi : W \to W'$ une carte locale avec $x \in W$.
($W \subset M$, $W' \subset \R^n$ ouverts et $\phi$ homéomorphisme)
* Si $y \not\in W$, on a gagné, avec $U = W$.
* Sinon, $y \in W$.
Or $W' = \phi(W)$ est séparé (car métrisable).
Soit donc $U' \subset \phi(W)$ un ouvert contenant $\phi(x)$, mais pas $\phi(y)$.
Alors $U = \phi^{-1}(U')$ convient. -
marsup : il me semble que les francophones ont tendance à dire "faiblement séparé" pour $T_1$
-
D'accord, merci pour le vocabulaire.
Et pour le problème dans la démonstration initiale, c'est que les deux points $x,y$ n'appartiennent pas nécessairement à un même ouvert de carte $\phi : W \to W'$. -
Ok, malheureusement je n'ai pas bien compris l'exemple de Max...
Par contre, je suis entièrement d'accord avec le dernier message de marsup et c'est bien ce que je pensais en écrivant mon premier message (très peu clair c'est vrai).
Du coup, je vois pas bien où est mon erreur (désolé d'empiéter sur ton fil jojo ^^' ). -
Merci à tous pour vos réponses. 100/100 d'accord avec la démonstration de marsup.
Ma démonstration était fausse, mais en fait l'argument correct que j'avais tenté d'écrire serait plutôt: si M est non $T_1$ et localement cartésien, alors il existe $x$ et $y$ tel que tout voisinage de $x$ contient $y$. En particulier il existe une carte $(W,\phi)$ telle que $x$,$y \in W$, puis en faisant le même argument on arrive à montrer qu'on peut séparer $x$ et $y$ dans M, on arrive à la contradiction: $(\neg T_1) \wedge$(localement cartésien) $\rightarrow T_2$. Démonstration assez sinueuse.
.
J'avais donc confondu l'axiome $T_1$ et l'axiome $T_2$, merci Maxtimax pour ton contre-exemple.
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