Soit $i$ le (un) point isolé de $A$. Alors $\{i\}$ est un ouvert de $A$.
Tout point $a \in A$ tel que $a \neq i$ a un voisinage ouvert $U_a$ dans $X$ qui ne contient pas $i$, donc $V_a = U_a \cap A$ est ouvert aussi dans $A$.
La réunion, pour $a\in A\backslash\{i\}$, de ces ouverts $V_a$ de $A$ est donc $A \backslash \{i\}$, qui est donc aussi ouvert.
Remarque : On a utilisé la séparation $T_1$, mais pas la séparation $T_2$. (j'ai eu l'occasion de réviser dans l'autre fil !)
Du coup, j'ai révisé également, en fait $T_1$ c'est équivalent à dire que les singletons sont fermés (la preuve, bah c'est un petit exercice et tu as fait un sens). Et comme tu dis $a$ isolé veut dire que $\{a\}$ est ouvert, on en déduit a partition en deux ouverts.
Marsup, il reste à trouver un contre exemple sans l'hypothèse $T_1$, i.e un espace topologique $X$ connexe de cardinal supérieur à $2$ avec point isolé.
De mon téléphone non mais ça a été discuté plusieurs fois sur le forum avec entre autres remarque. L'astuce consistait à utiliser des nombres premiers entre eux pour définir les ouverts. Peut être une recherche Google.... ?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
De mon téléphone je tente un coup sans garantie. L'ensemble est IN et la topologie est engendré par U(r,s) := l'ensemble des r + xs , x parcourant IN tels que r,s premiers entre eux. Ça marche peut être.
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Je recommence, en effet Christophe sur $\mathbb Z$ muni de la topologie engendrée par $\{U_a(b) \mid a, b\in \mathbb Z,\ \gcd(a, b) =1)\},$ où $U_a(b) =\{b+na\in \mathbb Z\mid n\in \mathbb Z\}$. Cet espace est alors dénombrable connexe et séparé d'après le bouquin Counter examples in topology (merci Poirot). Cette topologie est appelée "relatively prime integer topology" en anglais. Bonne nuit !
Cela dit les exemples font trop appel à l'inspiration. Alors qu'en fait il ne semble pas y avoir d'obstruction à construire une topologie sur IN où on a le minimum syndical de séparation à savoir que l'adhérence de tout ouvert non vide est de complémentaire fini.
Et je pense que ça se fait à la main et sans inspiration. Un tel espace sera connexe. Une fois de plus on s'aperçoit de l'efficacité du slogan "tout théorème est un corollaire évident d'une évidence et si on peine à le prouver c'est parce qu'on a "la main qui tremble".
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Je corrige d'un PC mon idiotie. C'est vrai que c'est joli les exemples épurés et esthétiques, mais ce que je veux dire (et c'est d'ailleurs un truc qui m'intéresse de plus en plus), c'est qu'en prenant "des ouverts aléatoires" entre guillemets, on obtient la même chose.
Autrement dit qu'étant données deux parties finies disjointes $F,G$, on leur associe un séparateur formel qui partitionne l'espace en 3 parties, 2 ouvertes, l'une $A$ contenant $F$, déclarée ouverte, la deuxième $B$ contenant $G$, déclarée ouverte, et la troisième, déclarée fermée, et incluse dans $adh(A)\cap adh(B)$. Il n'y a pas d'obstruction en faisant les constructions par récurrence.
Je soupçonne même, mais c'est très différent, que si pour chaque couple de parties disjointes de $\N$, on tire au sort, pour chaque $n$ un nombre dans $\{1;2;3\}$, en forçant $1$ pour les éléments de $F$ et $2$ pour les éléments de $G$, on construit une topologie aléatoire séparée qui a la probabilité 1 d'être connexe.
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Réponses
Soit $a$ un point isolé de $A$, peut-être en considérant l'application $ f : A \to \{0,1\}$ donnée par $f(x) = 0$ si $x \ne a$ et $1$ si $x=a$.
qui sont les deux ouverts qui partitionne A?
Tout point $a \in A$ tel que $a \neq i$ a un voisinage ouvert $U_a$ dans $X$ qui ne contient pas $i$, donc $V_a = U_a \cap A$ est ouvert aussi dans $A$.
La réunion, pour $a\in A\backslash\{i\}$, de ces ouverts $V_a$ de $A$ est donc $A \backslash \{i\}$, qui est donc aussi ouvert.
Remarque : On a utilisé la séparation $T_1$, mais pas la séparation $T_2$. (j'ai eu l'occasion de réviser dans l'autre fil !)
Du coup, j'ai révisé également, en fait $T_1$ c'est équivalent à dire que les singletons sont fermés (la preuve, bah c'est un petit exercice et tu as fait un sens). Et comme tu dis $a$ isolé veut dire que $\{a\}$ est ouvert, on en déduit a partition en deux ouverts.
Dénombrable pardon :-D je devrais aller dormir !
Je redonne un lien. qu'on trouve ici
Cela dit les exemples font trop appel à l'inspiration. Alors qu'en fait il ne semble pas y avoir d'obstruction à construire une topologie sur IN où on a le minimum syndical de séparation à savoir que l'adhérence de tout ouvert non vide est de complémentaire fini.
Et je pense que ça se fait à la main et sans inspiration. Un tel espace sera connexe. Une fois de plus on s'aperçoit de l'efficacité du slogan "tout théorème est un corollaire évident d'une évidence et si on peine à le prouver c'est parce qu'on a "la main qui tremble".
Autrement dit qu'étant données deux parties finies disjointes $F,G$, on leur associe un séparateur formel qui partitionne l'espace en 3 parties, 2 ouvertes, l'une $A$ contenant $F$, déclarée ouverte, la deuxième $B$ contenant $G$, déclarée ouverte, et la troisième, déclarée fermée, et incluse dans $adh(A)\cap adh(B)$. Il n'y a pas d'obstruction en faisant les constructions par récurrence.
Je soupçonne même, mais c'est très différent, que si pour chaque couple de parties disjointes de $\N$, on tire au sort, pour chaque $n$ un nombre dans $\{1;2;3\}$, en forçant $1$ pour les éléments de $F$ et $2$ pour les éléments de $G$, on construit une topologie aléatoire séparée qui a la probabilité 1 d'être connexe.