Compacité et point d'accumulation

Topotopo
Topotopo
dans Topologie
Bonsoir je dois démontrer, le théorème suivant.

Soit $X$ un espace topologique, et $K$ un compact, tout ensemble infini $A$ de $K$ possède au moins un point d'accumulation dans $K$.

Pour la preuve j'ai commencé par l'absurde, supposant que $A$ ne possède aucun point d'accumulation de $K$ c-à-d : $$\forall x\in K, \quad x\notin A',

$$ donc pour tout $x\in K$ il existe un ouvert $V_x$ contenant $x$ et qui satisfait $V_x\cap A\subset \{x\}$.

Comment trouver un recouvrement d'ouverts pour le compact $K$ ?
Merci.

Réponses

  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonjour,
    Tu l’as sous les yeux :-)
  • Topotopo
    Topotopo
    j'ai pensé a $\{V_x\}_{x\in K}$ , mais $\{V_x\}$ sont des ouverts de $X$, mais pas de $K$, comment avoir que $K\subset \cup_{x\in K} V_x$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Et c'est quoi un ouvert de $K$ ?
    Pour ta question sur l'inclusion : soit $x\in K$, alors...
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Tu t’embrouilles avec la définition d’une partie compacte, et peut être avec la notion de topologie induite. Question : si $(X,\mathcal{T})$ est un espace topologique et $Y$ une partie de $X$, quels sont les ouverts de $Y$ pour la topologie induite par $\mathcal{T}$?
    Sinon, oui! Ton recouvrement marche :)
  • Topotopo
    Topotopo
    Z est un ouvert de Y si il existe un ouvert W de X tel que $ Z=W\cap Y$

    tou ce que je vois c'est $\cup_{x\in K}(V_x\cap A)=K$
    Ahhh je peux dire que $K\subset \cup_{x\in K} V_x$
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Oui! Tu es à $\varepsilon$ de la conclusion
  • Topotopo
    Topotopo
    comme $K$ est compact on peut extraire un sous recouvrement fini $K\subset \cup_{i=1}^n V_{x_i}$ donc $A=A\cap K=A \cap ( \cup_{i=1}^n V_{x_i})\subset \cup_{i=1}^n \{x_i\}$

    se qui est une contradiction avec le fait que $A$ soit infini.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    :)o
  • christophe c
    christophe c
    "ce" plutôt que "se".

    Sinon attention tu utilises AC de façon trop instinctive. Mieux vaut l'utiliser en signalant explicitement que tu l'utilises.

    Et tenter l'exo de l'éviter.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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