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Ensemble précompact et borné

Envoyé par math89 
Ensemble précompact et borné
il y a quatre mois
Bonsoir
je cherche un contre-exemple d'un ensemble borné mais pas précompact.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: ensemble prescompact et borné
il y a quatre mois
avatar
$\mathbb R$ muni de la distance discrète.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par skyffer3.
Re: ensemble prescompact et borné
il y a quatre mois
mais $\R $ n'est pas borné
Re: ensemble prescompact et borné
il y a quatre mois
avatar
Relis ma réponse plutôt que de la tronquer après le premier mot ...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par skyffer3.
Re: Ensemble précompact et borné
il y a quatre mois
@math89 : que veut dire borné ?
Re: Ensemble précompact et borné
il y a quatre mois
Comme contre-exemple : la boule unité fermée d'un ev normé réel ou complexe de dimension infinie.
Re: Ensemble précompact et borné
il y a trois mois
@math89 demande à sky de donner la définition de "distance discrète". Ce sera ça une attitude scientifique de ta part. Là tu lui réponds comme si tu savais ce qu'il pense. En maths tu dois faire la chasse aux implicites si tu veux avancer.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Ensemble précompact et borné
il y a trois mois
J'ajoute à JJ une info médiatique peut être utile. On ne peut pas recouvrir la boule de rayon 1.0001 avec un nombre fini de boules de rayon 1 (en dim infinie).

Et ça ne dépend pas des formes des boules.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Ensemble précompact et borné
il y a trois mois
Etant sur un pc, je rappelle rapidement pourquoi. Si l'espace n'est pas complet, le compléter. Soit $r<1$.

Ensuite s'il est possible de recouvrir la boule unité par les boule($a,r)$, $a\in F$ avec $a$ fini, l'espace $G$ de dimension fini, engendré par $F$, étant fermé contient tout le monde, c'est à dire $G=E$.

Je peux mettre un lien vers un post récent sur demande où je le reprouve.

Pour les grandes dimensions finies, avec $\phi(r,n,N):=$ le nombre minimum de boules de rayon $r$ pouvant recouvrir la boule unité (pour la norme $N$) de $\R^n$, c'est en dehors de mes compétences de prouver qu'éventuellement:

$$ \phi(n,r)\to +\infty, n\to +\infty$$

mais je crois que c'est un grand classique pour le produit scalaire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
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