Compacité des espaces métriques

Topotopo
Topotopo
dans Topologie
Bonsoir
Je veux montrer ceci.

Si pour toute suite d'un espace métrique on peut extraire une sous-suite convergente alors pour tout $r>0$, on peut couvrir $E$ avec un nombre fini de boules de rayon $r$.

J'ai commencé par construire une suite mais je ne sais pas comment conclure.
Soit $x_0\in E$ si $E=B(x_0,r)$ alors on a fini, sinon il existe $x_1\in E$ tel que $x_1\notin B(x_0,r)$ si $E=B(x_0,r)\cup B(x_1,r)$ on a terminé, sinon on recommence jusqu'à arriver à l'existence de $x_n\in E$ mais $$x_n\notin B(x_0,r)\cup \ldots\cup B(x_{n-1},r).

$$ Donc je suis arrivé au fait qu'il existe une suite $(x_n)\in E$ tel que $d(x_n,x_{n-1})>r,\ \forall n\in \mathbb{N}^*$, mais comment utiliser le fait que l'on peut extraire une sous-suite convergente ?
Merci.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Indication: c'est mieux que $d(x_n,x_{n-1})>r$
  • Topotopo
    Topotopo
    on peut dire que $$d(x_p,x_q)>r, \,\forall p,q\in\mathbb{N}$$

    ca veut dire qu'elle n'est pas de Cauchy ?
  • Topotopo
    Topotopo
    Si on peut extraire une sous-suite convergente, $x_{\phi(n)}$ alors: $d(x_n,x_{\phi(n)})\to 0$ mais en même temps $d(x_n,x_{\phi(n)})>r$.
    Je ne comprends pas comment faire.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pourquoi $d(x_n,x_{\phi(n)})$ ? ça ne nous intéresse pas. Par contre tu as touché juste avec $d(x_p,x_q)$. Une sous-suite extraite convergente n'est-elle pas de Cauchy ? Et les $\phi(n),\phi(m)$ ne sont-ils pas des $p,q$ particuliers ?
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone si une suite u converge et si n,p sont suffisamment grands ne crois-tu pas que dist(u(n), u(p)) aura du mal à être > r ?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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