Convexité dans $\R^{n}$
Salut à tous, j'espère que vous allez bien.
Soit $\Omega$ un ouvert convexe bornée de $\R^{n}$ et $(x_{i})$ un nombre fini de points de $\partial{\Omega}$.
Pensez-vous qu'il est possible d'écrire $x$ comme combinaison convexe des $(x_{i})$ ? (Comment le montrer ?)
C'est vrai pour $n = 1$.
Je vous souhaite une bonne journée.
Soit $\Omega$ un ouvert convexe bornée de $\R^{n}$ et $(x_{i})$ un nombre fini de points de $\partial{\Omega}$.
Pensez-vous qu'il est possible d'écrire $x$ comme combinaison convexe des $(x_{i})$ ? (Comment le montrer ?)
C'est vrai pour $n = 1$.
Je vous souhaite une bonne journée.
Réponses
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Qui est $x$ ?
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Sûrement un élément de $\Omega$ ?
En tout cas c'est faux même avec $n=1$ tel que c'est écrit ... Et puis, la combinaison convexe de deux points ne donnera jamais qu'un segment ... -
Il faudrait nous en dire plus sur les $x_i$ que juste "ils sont sur le bord et en nombre fini", parce que dit comme ça, on peut en prendre 0 ou un seul.
Est-ce que par hasard la question est :Soit $\Omega$ ouvert convexe borné.
Existe-t-il un nombre fini de points du bord dont $\Omega$ est l'enveloppe convexe ? -
Un disque n'est pas l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points (en réponse à marsup et sa version $\exists \forall $ de ta question insensée)
Un convexe compact est bien enveloppe convexe de sa frontière (pour la version $\forall \exists$ de ta question imprécise).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
L'ensemble des matrices $n\times n$ à coefficients $\ge 0$ et dont chaque colonne et chaque ligne a une somme $=1$ est-il l'enveloppe convexe d'un ensemble fini ?
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Effectivement je me suis mal exprimé, merci de vos réponse et veillez m'excuser.
Prenons $\Omega = \text{co}(\{x_{i} ; i \in I\})$ et $f$ une fonction convexe sur $\Omega$ à valeur réelle.
On suppose que $f$ est nulle en chaque sommet du polyèdre.
Pensez vous que $f$ est nulle sur le bord de $\Omega$ ?
Le lien avec la question précédente (mal posée, veillez m'excuser encore une fois) est le suivant : SI $n = 1$ alors $\Omega = [a;b]$. Donc effectivement elle est nulle au bord.
De plus si on prouve ce résultat on déduire que $f$ est négative car on peut écrire $x \in \text{Int} (\Omega)$ comme combinaison convexe des éléments du bord. -
En dimension $2$, on peut prendre $\Omega=[-1,1]\times[2,7]$ et $f(x,y)=x^2-1$ : cette fonction convexe n'est pas nulle sur le bord alors qu'elle est nulle aux coins du rectangle.
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Merci Math Coss, c'est clair pour moi.
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Je vous remercie et je vous souhaite un agréable soirée.
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Ce n'est pas grave ne t'inquiète pas. C'est surtout pour toi si une question est trop vague les gens hésitent à poster ou postent pour demander des précisions.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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