Compacité dans les espaces métriques

Bonsoir s'il vous plait je n'arrive pas a démontrer ceci:

"Soit $(E,d)$ un espace métrique, si on peut extraire de toute suite une suite convergente alors $E$ est compact"

--> Supposons que $E$ n'est pas compact, alors il existe un recouvrement d'ouvert $(\Omega_{\lambda})$ pour la quelle on ne peut pas extraire un sous recouvrement fini.

Par hypothèse de toute suite on peut extraire une sous suite convergente donc on peut recouvrir $E$ d'un nombre finie de boule de rayon $r>0$ i.e
$$E=\bigcup_{i=1}^n B(x_i,r)=\bigcup_{\lambda\in \Lambda}\Omega_{\lambda}$$
il existe alors au moins une boule qui ne peux pas être recouverte par un nombre fini de $\Omega_{\lambda}$.

Comment continuer la démonstration ? c'est quoi l'idée s'il vous plaît?

Merci