Compacité de la droite réelle achevée

Bonjour à tous.
Je n’arrive pas à prouver la compacité de $(X,d_p)$ où $X=\overline{\R}$ est muni de la distance définie par $d_p(x,y) = |p(x)-p(y)|$. $p$ est une fonction réelle bornée continue strictement croissante et strictement positive. Je n’arrive pas à utiliser la continuité de $p$. J’ai pensé à utiliser un argument à la Cantor : si $(x_n)$ est une suite de $X$, pour tout $k$, il existe une sous-suite $(x_{\phi_k(n)})$ telle que $d_p(x_k,x_{\phi_k(n)}) \longrightarrow C_k$ avec $C_k$ une constante réelle positive. De la je sens bien un procédé diagonal mais je n’arrive pas à formaliser.
Merci de votre aide,
B&B