Densité et homéomorphisme

Tu peux montrer que si $f : E\to F$ est continue et si $f(E)$ est dense dans $F$, alors pour toute partie $A$ de $E$ dense dans $E$, $f(A)$ est dense dans $F$ ?

Salut, tu utilises la continuité de $f$ et sa bijectivité quand tu veux montrer que $f(\overline A) \subset \overline{f(A)}$ quand tu prends l'image réciproque d'un voisinage d'un point $y$ de $f(\overline A)$ pour justifier que c'est bien un voisinage de $x=f^{-1}(y)$.

Au fait, comment montres-tu $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$ ?

Bonsoir.

Comment justifies-tu $f^{-1}(V)\cap E\neq \emptyset$ ???

Cordialement.

Éventuellement vide, si f n'est pas surjective ....

Je répète : on n'a besoin que de la continuité de $f$ et de l'hypothèse que $f(E)$ est dense dans $F$ (c'est visiblement une condition nécessaire, par ailleurs).

Soit $A$ une partie dense de $E$. On veut montrer que $f(A)$ est dense dans $F$, c.-à-d. qu'il rencontre tout ouvert non vide de $F$.
Soit $U$ un ouvert non vide de $F$. Alors ... .... et donc $U\cap f(A)$ est non vide.
On n'a pas trop le choix pour remplir les pointillés.

$f(E)$ dense dans $F$ veut dire qu'il rencontre tout ouvert non vide de $F$. As-tu réfléchi à la question de gerard0 plus haut ?

F est dense dans F

Math89, j'ai l'impression que tu es noyé.
Je lance la bouée de sauvetage, au risque de t'assomer.

Soit $f : E\to F$ une application continue telle que $f(E)$ est dense dans $F$. Alors, pour toute partie $A$ dense dans $E$, $f(A)$ est dense dans $F$.

Démonstration : Soit $A$ une partie dense de $E$.
Soit $V$ un ouvert non vide de $F$. Alors $V\cap f(E)\neq \emptyset$ (densité de $f(E)$ dans $F$), donc $f^{-1}(V)$ est un ouvert (continuité de $f$) non vide. Par conséquent $f^{-1}(V)\cap A\neq \emptyset$ (densité de $A$ dans $E$), et donc $V\cap f(A)\neq \emptyset$.
Ceci montre que $f(A)$ est dense dans $F$.