Compactifié d'Alexandroff

senpai · May 2019

Bonjour,
j'avais une question à propos de ce procédé.
J'ai du mal à voir d'où sort ce point à l'infini que l'on utilise pour construire le compactifié d'Alexandroff d'un espace topologique localement compact non compact. À quelle ensemble appartient ce point ? Est-ce qu'on doit juste le prendre tel quel et faire abstraction de où peut provenir ce point ? J'ai du mal à concevoir comment rajouter ce fameux point en ne plongeant pas préalablement notre espace dans un espace plus gros.

Merci de m'éclairer !

Maxtimax · May 2019

Pour tout ensemble $X$, il existe un ensemble $\infty$ qui n'appartient pas à $X$ (c'est le "paradoxe" de Russell). Il suffit alors de prendre un tel $\infty$

Poirot · May 2019

C'est exactement ce qu'on fait, on "agrandit" l'espace. Il ne faut pas chercher le point à l'infini dans l'espace de départ ! Si ce qui te gêne est la construction, il suffit de considérer l'espace $E \cup \{E\}$ qui est bien défini, et (sous l'axiome de fondation) $E \not \in E$ donc en notant $\infty = E$ on a bien ajouté un élément qui n'était pas dans $E$.

senpai · May 2019

Ha ! OK merci Maxtimax pour la référence historique et merci Poirot c'est exactement ce qui me dérangeait dans la construction !

Pablo_de_retour · May 2019

Bonjour Maxtimax,

Qu'est ce que tu entends par la phrase suivante :

Maxtimax a écrit:

Pour tout ensemble $X$, il existe un ensemble $\infty$ qui n'appartient pas à $X$ (c'est le "paradoxe" de Russell). Il suffit alors de prendre un tel $ \infty $

Que vient faire le paradoxe de Russell dans cette histoire de compactification d'Alexandrov ? Je ne saisis pas le lien.

Merci d'avance.

Maxtimax · May 2019

Pablo : senpai nous demande d'où vient ce point "extérieur à $X$" qu'on lui rajoute pour obtenir le compactifié d'Alexandroff. Je lui ai donc répondu que le paradoxe de Russell nous assure qu'il existe $\infty \notin X$ et qu'on peut donc prendre ce $\infty$.
Comme le dit Poirot, si on a l'axiome de fondation on peut choisir $\infty = X$, mais sans axiome de fondation on peut prendre $\infty := \{x\in X\mid x\notin x\}$ et on obtient facilement $\infty \notin X$; on pose alors $\widehat{X} = X\cup\{\infty\}$ et on lui met la topologie qu'on connait.

Poirot · May 2019

Une autre manière de trouver un $x \not \in E$ sans axiome de fondation : d'après le théorème de Cantor, il n'y a pas de surjection de $E$ dans $\mathcal P(E)$. En particulier il existe un élément de $\mathcal P(E)$ qui n'est pas dans $E$, sinon $x \mapsto x$ serait une bijection de $E$ dans $\mathcal P(E)$ ! :-D

Maxtimax · May 2019

Poirot : est-ce vraiment une "autre manière" ? ;-) (indication : regarde la preuve du théorème de Cantor)

Poirot · May 2019

Bien vu ;-)

Pablo_de_retour · May 2019

Merci Maxtimax et Poirot. :-)

christophe c · May 2019

Le théorème de maths "officiel" est "pour tout x qui n'est pas dans E la topologie mise sur E union {X} vérifié blabla"

L'appeler infty est une décoration.

La définition que j'ai donnée 456362 fois sur le forum de ce dont s+1 est l'abréviation est s union {l'ensemble décrit par Max} en précisant que pour les ordinaux on peut la simplifier mais surtout quand on a commenté le livre PaDe il était utile de rappeler qu'on part de rien (dans les deux sens possible :-D )et donc qu'il FZUT définir "+1".

Mais attention pour le coup avec Alexandrov c'est indépendant du x choisi et je pense que c'est maladroit de le sigler . (Même si on pense bien faire je ne fais pas de procès d'intention)

Compactifié d'Alexandroff

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