Espace séparé

Bonsoir, on sait que si un espace topologique $Y$ est séparé et que $X$ est un espace topologique quelconque alors deux fonctions continues qui coïncident sur un sous-ensemble dense de $X$ coïncident sur $X$ entier.
J'aimerais savoir si vous aviez un contre-exemple pour la réciproque, c'est-à-dire un espace topologique non séparé $Y$ et un espace topologique $X$ tels que toutes fonctions qui coïncident sur un sous-espace dense de $X$ coïncident sur $X$.

Je vous avoue que j'ai été un peu flemmard et que je n'ai pas beaucoup réfléchi, j'imagine que mettre la topologie grossière sur $Y$ permet de trouver un contre-exemple pas trop compliqué...

Merci, bonne soirée.