Convergence simple vs uniforme
dans Topologie
Bonsoir à tous.
Soit (fn) une suite de fonctions de la variable réelle x, continues sur [a,b].
Si (fn) converge simplement vers une fonction f sur [a,b] telle que f est continue sur [a,b] alors (fn) converge uniformément vers f sur [a,b].
Preuve:
Supposons que la suite (fn) de fonctions continues sur [a,b] converge vers f sur [a,b] avec f continue sur [a,b].
Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0 appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b].
Ainsi la borne supérieure de |fn(x)-f(x)| sur [a,b] est égal à |fn(x0)-f(x0)| pour un certain x0 appartenant à [a,b].
Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf puisque (fn) converge simplement vers f sur [a,b].
On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [a,b].
Que pensez-vous de cette démonstration?
Soit (fn) une suite de fonctions de la variable réelle x, continues sur [a,b].
Si (fn) converge simplement vers une fonction f sur [a,b] telle que f est continue sur [a,b] alors (fn) converge uniformément vers f sur [a,b].
Preuve:
Supposons que la suite (fn) de fonctions continues sur [a,b] converge vers f sur [a,b] avec f continue sur [a,b].
Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0 appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b].
Ainsi la borne supérieure de |fn(x)-f(x)| sur [a,b] est égal à |fn(x0)-f(x0)| pour un certain x0 appartenant à [a,b].
Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf puisque (fn) converge simplement vers f sur [a,b].
On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [a,b].
Que pensez-vous de cette démonstration?
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Réponses
Quand tu dis : "Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0 appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b]. " c'est que tu considères un certain n fixé.
Quand tu dis : "Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf " c'est x0 qui est fixé, et n varie. Donc tu ne peux pas te servir du x0.
En fait, comme x0 dépend de n, ta première phrase devrait être : Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0(n) appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b]. "
Maintenant, considère les fonctions $f_n$ définies par $f_n(x) = x-n$ si $n\le x\le n+1,\ f_n(x) = n+2- x$ si $n+1\le x\le n+2$ et 0 ailleurs. Elles sont continues (fais un dessin), la suite des $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle qui est continue, mais la convergence n'est pas uniforme (le sup de $|f_n(x)-0|$ vaut toujours 1).
Donc ta preuve ne pouvait qu'être fausse.
Cordialement.
En revanche comme tu le fais remarquer, la preuve est fausse.
Un contrexemple pourrait être donné par $f_n$ définie sur $[0,1]$ qui vaut $0$ au début, a un pic de hauteur $1$ sur $[1-\frac{1}{2^n}, 1- \frac{1}{2^{n+1}}]$, puis vaut à nouveau $0$ jusqu'à $1$ (en rattachant continûment naturellement). Alors $f_n$ tend vers $0$ simplement, mais pas uniformément.
Je laisse les formules à qui sera assez patient :-D
mais comme Acidetostao ne se sert pas de la compacité de l'intervalle, sa démonstration est valide sur n'importe quel intervalle.
Et il est facile de faire un contre-exemple sur [0,1] avec une fonction nulle en 0, qui fait un pic de hauteur 1 (*) sur $[0,\frac 1 n]$ est est nulle ensuite. C'est la même idée.
Cordialement.
(*) ou même n, et le sup tend vers l'infini.
J'avais fortement pointé la suite pour l'erreur sur la manipulation des lettres, et sauté le début. Dommage, j'avais un exemple sur [0;1] à peine plus compliqué à écrire.
Cordialement
Grand merci à Greard0 et Maxtimax de m'avoir éclairé!!!
(tu)(tu)(tu)
(:P)
Tu écris Que pensez-vous de cette démonstration?
Que ce n'est pas une démonstration convaincante.
Par contre, bravo, on comprend par tes passages à la ligne que ça a bien la structure d'une preuve.
[size=x-large]1/[/size] Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0 appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b].
Les variables muettes (ou liées) doivent l'être de manière plus explicites. On ne comprend pas de quel sup tu parles, on doit "deviner" que c'est celui de $(n,x)\mapsto TonMachin$
[size=x-large]2/[/size] Ainsi la borne supérieure de |fn(x)-f(x)| sur [a,b] est égal à |fn(x0)-f(x0)| pour un certain x0 appartenant à [a,b].
Et tu le payes cash dès la deuxième ligne, puisque tu as un "n" qui traine. A partir de là, ni lecteur, ni correcteur ne continue de lire ce que tu as écrit. Pour forcer quelqu'un à lire, il faudrait vraiment trouver un chantage assez intense ici (par exemple faire croire que tu as un prix Nobel et que l'étudiant qui te lit prépare un truc qu'il a une semaine pour finir sur ton oeuvre géniale
FIN D'ANALYSE!
Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf puisque (fn) converge simplement vers f sur [a,b].
On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [a,b]
Je barre avec chaleur humaine pour confirmer ce qui précède.
Remarque: même si des gens trouvent des contre-exemples, ça n'INVALIDE EN RIEN TA PREUVE. On sait qu'on ne peut pas prouver qu'il n'existe pas de preuve de truc faux
Mon raisonnement, quoique faux, est assez clair pourtant!
Gerad0 et Maxtimax ont lu ma preuve et m'ont montré où était l'erreur dans mon raisonnement, et ce avec exemple à l'appui.
Toi par contre je n'ai rien du tout pigé à ta réponse ironique et méprisante! D'abord je t'apprends que j'ai écris ma preuve sans utiliser Latex; j'avais donc du mal à tout rédiger de façon "scientifique". Tu me parles de variable muette et liée! De prix Nobel (qu'il n'y a pas en maths d'ailleurs...), de n qui traine (où ça?), etc...
Tu commences par 1) et je ne vois pas de 2)...
En conclusion, tu aurais pu t'abstenir de me répondre et aller jouer au malin ailleurs...
Rien de plus.