Convergence simple vs uniforme

Qu'il y a une frouille !

Quand tu dis : "Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x₀ appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b]. " c'est que tu considères un certain n fixé.
Quand tu dis : "Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf " c'est x₀ qui est fixé, et n varie. Donc tu ne peux pas te servir du x₀.

En fait, comme x₀ dépend de n, ta première phrase devrait être : Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x₀(n) appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b]. "

Maintenant, considère les fonctions $f_n$ définies par $f_n(x) = x-n$ si $n\le x\le n+1,\ f_n(x) = n+2- x$ si $n+1\le x\le n+2$ et 0 ailleurs. Elles sont continues (fais un dessin), la suite des $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle qui est continue, mais la convergence n'est pas uniforme (le sup de $|f_n(x)-0|$ vaut toujours 1).
Donc ta preuve ne pouvait qu'être fausse.

Cordialement.

Effectivement,

mais comme Acidetostao ne se sert pas de la compacité de l'intervalle, sa démonstration est valide sur n'importe quel intervalle.
Et il est facile de faire un contre-exemple sur [0,1] avec une fonction nulle en 0, qui fait un pic de hauteur 1 (*) sur $[0,\frac 1 n]$ est est nulle ensuite. C'est la même idée.

Cordialement.

(*) ou même n, et le sup tend vers l'infini.

Ah effectivement !

J'avais fortement pointé la suite pour l'erreur sur la manipulation des lettres, et sauté le début. Dommage, j'avais un exemple sur [0;1] à peine plus compliqué à écrire.

Cordialement

Salut Acide,

Preuve:

Supposons que la suite (fn) de fonctions continues sur [a,b] converge vers f sur [a,b] avec f continue sur [a,b].
Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0 appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b].
Ainsi la borne supérieure de |fn(x)-f(x)| sur [a,b] est égal à |fn(x0)-f(x0)| pour un certain x0 appartenant à [a,b].
Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf puisque (fn) converge simplement vers f sur [a,b].
On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [a,b].

Tu écris Que pensez-vous de cette démonstration?

Que ce n'est pas une démonstration convaincante.

Par contre, bravo, on comprend par tes passages à la ligne que ça a bien la structure d'une preuve.

[size=x-large]1/[/size] Alors le Sup|fn(x)-f(x)| existe et est atteint en un point x0 appartenant à [a,b], puisque fn-f est continue sur [a,b].

Les variables muettes (ou liées) doivent l'être de manière plus explicites. On ne comprend pas de quel sup tu parles, on doit "deviner" que c'est celui de $(n,x)\mapsto TonMachin$



[size=x-large]2/[/size] Ainsi la borne supérieure de |fn(x)-f(x)| sur [a,b] est égal à |fn(x0)-f(x0)| pour un certain x0 appartenant à [a,b].

Et tu le payes cash dès la deuxième ligne, puisque tu as un "n" qui traine. A partir de là, ni lecteur, ni correcteur ne continue de lire ce que tu as écrit. Pour forcer quelqu'un à lire, il faudrait vraiment trouver un chantage assez intense ici (par exemple faire croire que tu as un prix Nobel et que l'étudiant qui te lit prépare un truc qu'il a une semaine pour finir sur ton oeuvre géniale

FIN D'ANALYSE!

Or |fn(x0)-f(x0)|-->0 lorsque n-->+inf puisque (fn) converge simplement vers f sur [a,b].
On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [a,b]

Je barre avec chaleur humaine pour confirmer ce qui précède.

Remarque: même si des gens trouvent des contre-exemples, ça n'INVALIDE EN RIEN TA PREUVE. On sait qu'on ne peut pas prouver qu'il n'existe pas de preuve de truc faux

Pardon j'ai rajouté "2" à l'edit. Aucun mépris dans ma réponse (comme si j'avais le temps). Je voulais te signifier que les parties non valides d'une preuve sont dans la preuve elle-même et qu'elles se trouvent en LISANT la preuve, pas en ayant recours à "une autre preuve" qui te prouve "le contraire" de ce que tu déclares prouver.

Rien de plus.