Image d'un connexe par une fonction continue
Bonsoir
Je veux montrer que
si $E$ est un connexe et $f:E\to F$ continue alors $f(E)$ est connexe.
Supposons que $f(E)$ n'est pas connexe alors il existe deux ouverts non vides $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $$f(E)=\Omega_1\cup \Omega_2, \quad \Omega_1\cap \Omega_2=\emptyset.
$$ Comme $f$ est continue alors $f^{-1}(\Omega_1)$ et $f^{-1}(\Omega_2)$ sont deux ouverts de $E$ tels que $f^{-1}(\Omega_1)\cap f^{-1}(\Omega_2)=\emptyset$ et $$f^{-1}(\Omega_1)\cup f^{-1}(\Omega_2)\subset E.
$$ Comment terminer s'il vous plaît ?
Je veux montrer que
si $E$ est un connexe et $f:E\to F$ continue alors $f(E)$ est connexe.
Supposons que $f(E)$ n'est pas connexe alors il existe deux ouverts non vides $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $$f(E)=\Omega_1\cup \Omega_2, \quad \Omega_1\cap \Omega_2=\emptyset.
$$ Comme $f$ est continue alors $f^{-1}(\Omega_1)$ et $f^{-1}(\Omega_2)$ sont deux ouverts de $E$ tels que $f^{-1}(\Omega_1)\cap f^{-1}(\Omega_2)=\emptyset$ et $$f^{-1}(\Omega_1)\cup f^{-1}(\Omega_2)\subset E.
$$ Comment terminer s'il vous plaît ?
Réponses
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pourquoi une égalité s'il vous plaît?
et pourquoi $f^{-1}(\Omega_1)\neq \emptyset$? -
$$f^{-1}(\Omega_1) \cup f^{-1}(\Omega_2) = f^{-1}(\Omega_1 \cup \Omega_2) = f^{-1}(f(E)) = E$$
$\Omega_1$ est non vide et $\Omega_1 \subset f(E)$ donc $f^{-1}(\Omega_1) \neq \emptyset$. -
je pense qu'il faut $f$ surjective non ? puisque $E\subset f^{-1}(f(E))$
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$f$ est-elle surjective de $E$ dans $f(E)$ ?...
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Si mais $f:E\to F$ pas $f:E\to f(E)$
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$\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont des ouverts de $E$. Il faut comprendre $f^{-1}(\Omega_1)$ comme $g^{-1}(\Omega_1)$ où $g : x \mapsto f(x)$ de $E$ dans $f(E)$ qui est continue surjective.
-
De mon téléphone: connexe veut dire "toute partition en ouverts est de cardinal 1". Si f va de E dans F, et que son image directe est partionnee en ouverts tu récupères via les image réciproques des morceaux une partition de E ayant le même cardinal.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Ce ne sont que des réécritures linguistiques de "toutes continue vers un fini discret est constante". Si tu as une g continue vers un fini discret qui part de f(E) l'image directe, la composée g rond f étant constante, g l'est aussi forcément.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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