Image d'un connexe par une fonction continue
Bonsoir
Je veux montrer que
si $E$ est un connexe et $f:E\to F$ continue alors $f(E)$ est connexe.
Supposons que $f(E)$ n'est pas connexe alors il existe deux ouverts non vides $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $$f(E)=\Omega_1\cup \Omega_2, \quad \Omega_1\cap \Omega_2=\emptyset.
$$ Comme $f$ est continue alors $f^{-1}(\Omega_1)$ et $f^{-1}(\Omega_2)$ sont deux ouverts de $E$ tels que $f^{-1}(\Omega_1)\cap f^{-1}(\Omega_2)=\emptyset$ et $$f^{-1}(\Omega_1)\cup f^{-1}(\Omega_2)\subset E.
$$ Comment terminer s'il vous plaît ?
Je veux montrer que
si $E$ est un connexe et $f:E\to F$ continue alors $f(E)$ est connexe.
Supposons que $f(E)$ n'est pas connexe alors il existe deux ouverts non vides $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $$f(E)=\Omega_1\cup \Omega_2, \quad \Omega_1\cap \Omega_2=\emptyset.
$$ Comme $f$ est continue alors $f^{-1}(\Omega_1)$ et $f^{-1}(\Omega_2)$ sont deux ouverts de $E$ tels que $f^{-1}(\Omega_1)\cap f^{-1}(\Omega_2)=\emptyset$ et $$f^{-1}(\Omega_1)\cup f^{-1}(\Omega_2)\subset E.
$$ Comment terminer s'il vous plaît ?
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Réponses
$$f^{-1}(\Omega_1)\cup f^{-1}(\Omega_2) = E$$
d'où la contradiction recherchée.
et pourquoi $f^{-1}(\Omega_1)\neq \emptyset$?
$\Omega_1$ est non vide et $\Omega_1 \subset f(E)$ donc $f^{-1}(\Omega_1) \neq \emptyset$.