Intersection de fermés
Bonjour j'ai une question concernant la correction d'un exercice de mon cours. On nous demande de donner un exemple de suite décroissante de fermés non vides $(F_n) \in X$, ( où $(X,d)$ est un espace métrique) telle que:
\[ \bigcap_{n \geq 0} F_n = \emptyset \]
Concernant la correction on pose $X = \mathbb{R}$, et on considère pour tout $n \in \mathbb{N}$ les fermés $F_n = [n, +\infty [ $. Or si je comprends bien on aura $F_{n+2} \subset F_{n+1} \subset F_n$, puisque $ [n+2, + \infty[ \subset [n+1, + \infty[ \subset [n, + \infty[ $ et ainsi de suite. Mon incompréhension vient du fait que si nous faisons l'intersection de ces fermés alors on n'obtient pas forcément l'ensemble vide. Si on a par exemple
\[ F_{n+2} \cap F_{n+1} \cap F_n = F_{n+2} \neq \emptyset \]
Peut-être que je dois supposer que $n \to + \infty$, dans ce cas on aurait peut-être l'ensemble vide Quelqu'un pourrais m'aider à comprendre où est-ce que je fais fausse route ?
Cordialement
\[ \bigcap_{n \geq 0} F_n = \emptyset \]
Concernant la correction on pose $X = \mathbb{R}$, et on considère pour tout $n \in \mathbb{N}$ les fermés $F_n = [n, +\infty [ $. Or si je comprends bien on aura $F_{n+2} \subset F_{n+1} \subset F_n$, puisque $ [n+2, + \infty[ \subset [n+1, + \infty[ \subset [n, + \infty[ $ et ainsi de suite. Mon incompréhension vient du fait que si nous faisons l'intersection de ces fermés alors on n'obtient pas forcément l'ensemble vide. Si on a par exemple
\[ F_{n+2} \cap F_{n+1} \cap F_n = F_{n+2} \neq \emptyset \]
Peut-être que je dois supposer que $n \to + \infty$, dans ce cas on aurait peut-être l'ensemble vide Quelqu'un pourrais m'aider à comprendre où est-ce que je fais fausse route ?
Cordialement
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Faire l'intersection pour tous les n entiers amène à considérer les n aussi grands que tu veux. Idée très proche (revois la définition) de $n\to +\infty$.
Mais ici, très simplement, considère un réel x. Est-il dans tous les $F_n$ ? si oui, l'intersection est non vide; si non, x n'est pas dans l'intersection. Et comme x est quelconque ...
Cordialement.
Je trouverai toujours un entier tel que $n > x$. En effet c'est moins compliqué que je ne le pensais.
Cordialement.
Cordialement.