Connexe par arcs implique connexe

Choisis une application continue $f:E\to\{0,1\}$, puis deux points $a$ et $b$ de $E$. Applique l'hypothèse : il existe un chemin continu $\gamma:[0,1]\to E$ avec $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$. Montre que $f(a)=f(b)$. Indication : utilise le chemin.

Brillante idée. Tu as donc $f\circ\gamma:[0,1]\to\{0,1\}$ continue. Et alors ?

En effet. On peut par exemple considérer $c=\sup\bigl\{t\in[0,1],\ f|_{[0,t]}=f(a)\bigr\}$, vérifier que $f(c)=f(a)$ par continuité, choisir $\alpha>0$ tel que $\bigl|f(t)-f(c)\bigr|\le1/2$ si $|t-c|\le\alpha$ et en déduire que $c=b$ (sans quoi, $f=f(a)$ sur $[0,d]$, où $d=\min(c+\frac\alpha2,b)$, ce qui pose problème).

Ce message est une démonstration du fait que $[0,1]$ est connexe. On en fait bien ce qu'on veut.