Fermé dans un espace métrique

math89
math89
dans Topologie
Bonsoir,
s'il vous plaît comment montrer que l'ensemble $A=\,]0,1]$ est fermé dans l'espace $(]0,+\infty[,d)$ ou $$ d(x,y)=|1/x-1/y|.

$$ Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    La manière intelligente : remarquer que ton espace métrique est isométrique à $(]0, +\infty[, | \cdot |)$, et que $A$ est l'image du fermé $[1, +\infty[$ par l'isométrie $x \mapsto 1/x$.

    La manière brutale : on prend une suite $(x_n)_n$ d'éléments de $A$ qui converge pour $d$ et on montre que la limite $x$ est bien dans $A$.
  • math89
    math89
    J'ai pris une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $x$ c-à-d que $1/x_n$ converge vers $1/x$ pour la distance usuelle.

    Mais comment déduire que $x \in A$ ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Ce n'est pas parce que tu es dans le chapitre de topologie que les propriétés élémentaires des suites réelles cessent d'être vraies. Connaissant la limite de la suite $(1/x_n)$, quelle est la limite de $(x_n)$ ? Sachant que $x_n$ appartient à $A$ pour tout $n$, que peux-tu en déduire de $x$ ? Que reste-t-il à démontrer ? Que se passerait-il si ce qu'il faut montrer n'était pas vrai ?
  • Superkarl
    Superkarl
    Et pour t'aider plus, que veut dire xn appartient à A en préalable ?
    Qu'est-ce que cela implique sur 1/xn puis qu'est-ce que cela implique sur 1/x, puis qu'est-ce que cela implique sur x ?

    En fait, dis-toi que tout ce que tu peux trouver sur x, tu ne peux le trouver qu'à partir de 1/x (car tu n'as rien d'autre sur x), limite de 1/xn, et donc tu ne peux le trouver qu'à partir de 1/xn (car tu n'as rien d'autre sur 1/x), et donc tu ne peux le trouver qu'à partir de xn (car tu n'as rien d'autre sur 1/xn) et tout ce que tu as sur xn, c'est qu'il est dans A. Donc tu dois partir de là, et si cette information ne t'aide pas telle quelle, il faut que tu explicites ce qu'elle veut dire, ça sera peut-être plus clair.
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