Unicité de la limite espace métrique

Bonsoir, pour montrer que la limite d'une suite dans un espace métrique est unique est-ce que cette méthode est juste ?

Supposons par l'absurde de la suite $(u_n)$ converge vers deux limites différentes $x$ et $y$
donc on a $$
0<d(x,y)\leq d(u_n,x)+d(u_n,y) \to 0
$$ contradiction.

Y a-t-il s'il une meilleure façon de faire ?