Ouvert convexe de $\mathbb{R}^{n}$
Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien.
Je suis bloqué sur deux questions d'analyse convexe, j'aimerais vous les soumettre.
1) Soit $\Omega$ un ouvert convexe borné de $\mathbb{R}^{n}$ de diamètre $\Delta$ et $u \in \mathcal{C}^{0}(\bar{\Omega},\mathbb{R})$ une fonction convexe avec $u = 0$ sur $\partial{\Omega}$.
Montrer que $u \le 0$.
(Résolue).
Il suffit de montrer que : Soit $z \in \Omega$ alors il existe $t \in [0;1]$ et $x,y \in \partial{\Omega}$ tel que $z = tx+(1-t)y$.
Mais je ne suis pas sur que ce soit vrai.
Je vous souhaite un excellent dimanche.
Je suis bloqué sur deux questions d'analyse convexe, j'aimerais vous les soumettre.
1) Soit $\Omega$ un ouvert convexe borné de $\mathbb{R}^{n}$ de diamètre $\Delta$ et $u \in \mathcal{C}^{0}(\bar{\Omega},\mathbb{R})$ une fonction convexe avec $u = 0$ sur $\partial{\Omega}$.
Montrer que $u \le 0$.
(Résolue).
Il suffit de montrer que : Soit $z \in \Omega$ alors il existe $t \in [0;1]$ et $x,y \in \partial{\Omega}$ tel que $z = tx+(1-t)y$.
Mais je ne suis pas sur que ce soit vrai.
Je vous souhaite un excellent dimanche.
Réponses
-
Pour le 2) Soit $x_{0} \in \Omega$ et
\[
v : x\in \text{adh}(\Omega) \rightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
u(x_{0}) + a|x-x_{0}| & \mbox{si } x \in \Omega \\
0 & \mbox{si } x \in \partial{\Omega}
\end{array}
\right.
\]
Avec $a := \sup_{x \in \Omega} \{ |\frac{u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}|\}$.
Montrons que $v \in \mathcal{C}^{0}(\bar{\Omega},\mathbb{R})$ . -
Pour la 2) je pense qu'il y'a aucun problème avec la définition de $a$.
Puisque $\Omega$ est borné, il existe un compact $K \subset \Omega$ tel que $x_{0} \in K$.
On a $a \in \mathbb{R}$ puisque $a \le \sup_{x \in K} \{ |\frac{u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}|\} + \sup_{x \in \text{adh}({\Omega-K})} \{ |\frac{u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}|\} $ et $u$ est lipchitizienne sur tout compact de $\Omega$ de plus l'hypothèse, $u$ est continue jusqu'au bord donc la fonction continue : $x \in \text{adh}({\Omega-K}) \rightarrow |\frac{u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}| $ est bornée. -
Quelqu'un m'a donné la réponse pour la 1) il a effectué un raisonnement de connexité sur l'ensemble des points maximisant.
Il reste la 2) si quelqu'un voit comment faire.
Au plaisir de vous lire. -
Je pense que la 2) n'est pas vraie ! Cela voudrais dire que la fonction $ z \in \text{adh}(\Omega)\setminus\{x_{0}\},~z\mapsto\dfrac{1}{|z- x_{0}|}$ est constante sur la frontière. Ce serait bizarre que $x_{0}$ soit à équidistance de tous les points de la frontière.
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Bonjour!
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