Tout intervalle de R est connexe

math89
math89
dans Topologie
Bonsoir, je n'ai pas bien compris la preuve de tout intervalle est connexe.

Supposons que $A$ est un intervalle non connexe il existe alors deux ouverts $U$ et $V$ de $\R$ tels que $$
\begin{cases}
A=(A\cap U)\cup (A\cap V)\\
A\cap U \cap V=\emptyset\\
A\cap U\neq\emptyset,~A\cap V\neq\emptyset
\end{cases}

$$ Soit $x\in U$ et $y\in V$ comme $A$ est un intervalle $[x,y]\subset A$
de ceci on obtient que $$[x,y]=([x,y]\cap U)\cup ([x,y]\cap V).

$$ Après je ne comprends pas le but, comment trouver une contradiction ?

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Le but est de se ramener à un intervalle borné, où les notions de sup et inf ont un sens sans se poser de question.

    Ainsi, tu peux te demander : qui est le sup des $t\in [x,y]$ tels que $[x,t]\subset U$ ? Appartient-il à $U$ ou à $V$ ?
  • math89
    math89
    donc le but n'est pas d'arriver à montrer que $[x,y]\cap U $ ou
    $[x,y]\cap V $ est vide ?

    pourquoi spécialement le sup?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il faut faire un dessin pour comprendre ce qui se passe. L'idée est que $x\in U$, donc il y a une petite boule autour de $x$ qui est dans $U$. Si tu prends l'extrémité de cette boule, elle est aussi dans $U$ (elle ne peut pas être dans $V$ : pourquoi ?), donc il y a aussi une petite boule autour etc. etc. ça amène à considérer le sup. Tu verras comment on arrive à la conclusion en considérant ledit sup.
  • math89
    math89
    il n'EST pas dans U et n'est pas dans B donc il n'existe pas ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Essaie de prouver qu'il est dans $U$, puis essaie de prouver qu'il est dans $V$, et déduis-en une contradiction. (ou essaie de prouver qu'il n'est dans aucun des deux, ce sera aussi une contradiction)
  • christophe c
    christophe c
    Je me connecte peu, pardon. Si tu as un ensemble $E$ totalement ordonné, $a\in E\cap U\setminus V$ et $b\in E\cap V$ avec $b>a$, alors $\{x\in E\mid [a,x[\subseteq U \setminus V\}$ est "très souvent intéressant". Ca ne vient pas d'autre chose pour $\R$ (que de sa structure ordonnée).

    Mais l'ordre n'est pas forcément "la panacée". Dans un espace doté d'une "notion de moyenne", partant de $a\in U\setminus V$ et $b\in V\setminus U$, sans ordre, tu peux construire une suite $u$ de Cauchy telle que

    $$\forall n: [(u_{2n}, u_{2n+1}) \in U\times V ]$$

    dont la limite t'apportera des réponses (par exemple la connexité des convexes).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

3 Invités