Bonsoir
Soit $X$ un ensemble fermé borné d'un espace vectoriel normé de dimension finie $E$, et $f: E\to \mathbb{R}^n$ une fonction continue et bijective.
Comment obtenir que $f(X)$ est bornée [dans] $\mathbb{R^n}$ ?
Merci.
la fonction $\tan$ est définie et continue sur $\left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ (c'est aussi une bijection) mais son image n'est pas bornée puisque sauf erreur il s'agit de $\mathbb{R}$
Avec les conditions requises, si $X$ est fermé et borné (il est compact) et son image est donc bornée.
Il y a écrit borné pas compact dans le premier message.
Cela dit, sauf erreur, dans les conditions du premier message, l'image d'un compact est compact si je me souviens bien.
Non X est fermé borné et on veut montrer que X est compact .
ils ont introduit la fonction f , puis montrer que f(X) est fermé borné de R donc il est compact, on déduit que X est compact en utilisant la continuité de $f^{-1}$
Si j'en crois mes souvenirs, dans un espace vectoriel normé de dimension finie, fermé borné est la même chose que compact.
Et, il y a aussi un théorème, toujours selon mes souvenirs, qui affirme que l'image d'un compact par une application continue (dans un espace vectoriel normé de dimension finie vers un espace vectoriel normé de dimension finie) est un compact.
Ta question n'était pas claire. Il y a une démonstration du fait que l'image d'un compact par une fonction continue à valeurs dans un espace topologique séparé est compact. (un espace métrique est toujours séparé sauf erreur) dans le deuxième lien.
Maxtimax: je n'ai jamais écrit que tan était définie sur $\mathbb{R}$.
Mon exemple avait seulement pour but de montrer que l'image d'un ensemble borné par une fonction continue n'est pas nécessairement bornée. Cela ne contredit pas ce que j'ai écrit plus haut parce que l'ensemble $\left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ n'est pas fermé dans $\mathbb{R}$.
FindePartie : ok mais dans ce cas-là je ne comprends pas ta remarque. Ah, était-ce pour remarquer qu'il fallait bien que $f$ soit définie sur $E$ tout entier ?
Dans le message original je ne suis pas sûr que l'adjectif fermé était utilisé pour qualifier $X$ qui est une partie d'un espace topologique (espace vectoriel normé de dimension finie). Math89 a modifié 4 fois son message.
Bon en fait la solutiol que je te proposais au début utilisais effectivement le résultat "image continie d'un compact est compacte". Sans ça, voilà une idée :
Suppose que pour tout $n$, $y_n \in f(X)$ et que $(y_n)$ n'est pas bornée. Quitte à extraire une sius-suite, tu peux supposer que ça tend vers l'infini (en norme).
Tu peux écrire $y_n = f(x_n)$ avec $x_n \in X$. $X$ est compact, que peux-tu alors faire ? Qu'est-ce que çq impose ?
Oui je sais que toutes les normes dans un espace de dimension finie sont équivalentes et que toute forme linéaire d'un espace vectoriel de dimension fini est continue
Bon si tu sais ça ça va simplifier. Est-ce que donc ton problème en fait c'est : tu sais que dans $\R^n$, fermé borné implique compact, et tu veux le montrer dans un evn de dimension finie quelconque ?
Bon, dans ce cas soit $E$ un tel evn, et $g: E\to \R^n$ un isomorphisme linéaire. En particulier $g$ est continu; son inverse est aussi linéaire donc est aussi continue. Soit $X$ bornée et fermée. En particulier elle est bornée pour la norme $N(x) := ||g(x)||_\infty$ (vérifie que c'est une norme ! ): il existe $c$ tel que pour tout $x\in X$, $N(x) \leq c$. Donc pour tout $x\in X, ||g(x)||_\infty \leq c$. Donc $g(X)$ est bornée.
De plus, $g(X) = (g^{-1})^{-1}(X)$, et $g^{-1}$ est continue, donc $g(X)$ est fermé, car $X$ l'est. Donc $g(X)$ est compacte. Mais $g^{-1}$ est continue donc $g^{-1}(g(X))$ est compacte, donc $X$ est compacte.
C'est une définition : je définis $N(x)$ comme $||g(x)||_\infty$ (le fait que j'utilise $||-||_\infty$ n'est pas essentiel : tu peux la remplacer par ta norme préférée sur $\R^n$)
$X$ est borné ça veut dire que
$\exists M>0,\ \forall x\in X,\ ||x||_E\leq M$ donc il suffit de dire que $||g(x)||$ est une norme équivalente à ||x||_E même si $g(x)\notin E$ ??
Le fait que $g(x) \notin E$ n'a rien à voir avec le schmil-blick : je t'ai proposé de démontrer que $x\mapsto ||g(x)||$ était une norme sur $E$. Dès lors elle est équivalente à $||-||_E$, non ?
Réponses
Avec les conditions requises, si $X$ est fermé et borné (il est compact) et son image est donc bornée.
Cela dit, sauf erreur, dans les conditions du premier message, l'image d'un compact est compact si je me souviens bien.
ils ont introduit la fonction f , puis montrer que f(X) est fermé borné de R donc il est compact, on déduit que X est compact en utilisant la continuité de $f^{-1}$
Et, il y a aussi un théorème, toujours selon mes souvenirs, qui affirme que l'image d'un compact par une application continue (dans un espace vectoriel normé de dimension finie vers un espace vectoriel normé de dimension finie) est un compact.
Voir:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Compacité_séquentielle
et:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Compacité_(mathématiques)#Compacité_et_continuité
Il est à noter qu'a priori les hypothèses n'impliquent pas la continuité de $f^{-1}$.
Mon exemple avait seulement pour but de montrer que l'image d'un ensemble borné par une fonction continue n'est pas nécessairement bornée. Cela ne contredit pas ce que j'ai écrit plus haut parce que l'ensemble $\left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ n'est pas fermé dans $\mathbb{R}$.
Suppose que pour tout $n$, $y_n \in f(X)$ et que $(y_n)$ n'est pas bornée. Quitte à extraire une sius-suite, tu peux supposer que ça tend vers l'infini (en norme).
Tu peux écrire $y_n = f(x_n)$ avec $x_n \in X$. $X$ est compact, que peux-tu alors faire ? Qu'est-ce que çq impose ?
le point 2 page 9
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~sarti/evn_costantini.pdf&ved=2ahUKEwjMpcTx9ubiAhWk2uAKHX_TAEoQFjACegQIAxAB&usg=AOvVaw017_kzQ-TGFMQPnM-bI2Cp
De plus, $g(X) = (g^{-1})^{-1}(X)$, et $g^{-1}$ est continue, donc $g(X)$ est fermé, car $X$ l'est. Donc $g(X)$ est compacte. Mais $g^{-1}$ est continue donc $g^{-1}(g(X))$ est compacte, donc $X$ est compacte.
$\exists M>0,\ \forall x\in X,\ ||x||_E\leq M$ donc il suffit de dire que $||g(x)||$ est une norme équivalente à ||x||_E même si $g(x)\notin E$ ??