Séparation des convexes
Bonjour à tous
Je me place dans un $\R$ espace vectoriel $E$.
Soit $K$ un convexe compact non vide tel que $K \subset C$ un convexe ouvert. Et $F$ un convexe non vide fermé disjoint de $C$.
On peut séparer $C$ et $F$ largement et $K$ et $F$ strictement.
Ma question est l'hyperplan de séparation large de $C$ et $F$ induit-il un hyperplan de séparation stricte de $K$ et $F$.
Mathématiquement s'il existe $f \in E^{*}$ tel que \[
\forall c\in C,~ \forall d \in F,~ f(c) \le f(d)
\] Est-ce qu'il existe $\epsilon >0$ tel que \[
\forall c\in K, ~\forall d \in F,~ f(c) + \epsilon \le f(d)
\] Je vous souhaite une excellente soirée.
Je me place dans un $\R$ espace vectoriel $E$.
Soit $K$ un convexe compact non vide tel que $K \subset C$ un convexe ouvert. Et $F$ un convexe non vide fermé disjoint de $C$.
On peut séparer $C$ et $F$ largement et $K$ et $F$ strictement.
Ma question est l'hyperplan de séparation large de $C$ et $F$ induit-il un hyperplan de séparation stricte de $K$ et $F$.
Mathématiquement s'il existe $f \in E^{*}$ tel que \[
\forall c\in C,~ \forall d \in F,~ f(c) \le f(d)
\] Est-ce qu'il existe $\epsilon >0$ tel que \[
\forall c\in K, ~\forall d \in F,~ f(c) + \epsilon \le f(d)
\] Je vous souhaite une excellente soirée.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Plus précisément, en prenant $\epsilon>0$ assez petit, $k+\epsilon x\in C$ (car ce dernier est ouvert) et $f(k+\epsilon x) > f(k)$, et $f(k+\epsilon x)\leq \inf_{d\in F}f(d)$. Posant $l = \inf_{d\in F}f(d)$, on obtient $f(k)< l$.
Soit $g:K\to \R, k\mapsto l-f(k)$. C'est une fonction strictement positive sur un compact, elle atteint un minimum. Le reste est clair.
Et bien merci pour votre réponse, c'était parfaitement clair .