Comment montrer que c'est une distance ?

math89 · June 2019

Bonjour,
comment montrer que $$d(x,y)=\Big|\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}\Big|$$ est une distance sur $\R$

Je n'arrive pas à montrer la première condition.

Magnolia · June 2019

Bonjour

Tu pourrais étudier la fonction $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$

Dom · June 2019

"la première condition" est un peu vague...

https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_(mathématiques)

l'image est un réel positif, la symétrie est vérifiée, la séparation (est-ce cela le problème ?), l'inégalité triangulaire (est-ce cela ?).

math89 · June 2019

j'ai supposé que d(x, y)=0 donc je suis arrivée à $$ x+|y|x=y+ |x|y$$
en quoi l'étude de la fonction peut m'aider? pour déduire de x=y??

Math Coss · June 2019

Oui.

Magnolia · June 2019

J'avais bien compris quelle était la première propriété, et je t'ai suggéré une méthode pour y arriver. Essaye!

math89 · June 2019

Je pense avoir trouvé la solution, j'ai juste enlevé la valeur absolue, je me retrouve avec 4 équations 2 impossibles et 2 nous donnent que x=y

Math Coss · June 2019

Tu voudrais préciser ? L'égalité $x-xy=y+xy$ n'entraîne pas que $y=x$.

Une fois éclairci ce que tu as fait, tu pourrais revenir à la suggestion de Magnolia d'étudier la fonction pour en déduire la « première propriété ».