Suite récurrente dans un compact

Topotopo
Topotopo
dans Topologie
Bonjour, comment résoudre cet exercice s'il vous pl.

Soit $E$ un espace métrique compact et $f:E\to E$ une fonction qui vérifie $$\forall x,y\in E,~ d(f(x),f(y))\geq d(x,y).

$$ Soit $a\in E$, montrer que $a$ est une valeur d'adhérence pour la suite $(f^{n}(a))$.

J'ai commencé par dire que la suite $(f^{n}(a))$ est dans un compact donc possède une sous-suite convergente, mais je n'arrive pas à montrer qu'elle converge vers $a$.
Merci.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si $\varphi$ est une extractrice, alors en particulier $d(f^{\varphi(2n)}(a), f^{\varphi(n)}(a)) \to 0$
  • Topotopo
    Topotopo
    Oui ca veut dire que cette sous suite est de Cauchy car elle est convergente , mais comment utiliser la condition sur f ?
  • Poirot
    Poirot
    Par récurrence on a $d(f^{\varphi(2n)}(a), f^{\varphi(n)}(a)) \geq d(f^{\varphi(2n)-\varphi(n)}(a), a)$.
  • Topotopo
    Topotopo
    Je suis confuse je ne vois pas du tout comment faire cette récurrence
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Une indication : peux-tu prouver que $d(f^7(a),f^3(a)) \geq d(f^4(a),a) $ ?
  • Topotopo
    Topotopo
    $$ d(f^7(a),f^3(a))=d(f^6(f(a)),f^2(f(a))\geq d(f^6(a),f(f(a)))\geq d(f^5(a),f(a))\geq d(f^4(a),a)$$

    c'est comme ca ?
  • Topotopo
    Topotopo
    comment trouver la contradiction s'il vous plait
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Attention ce n'est pas $f^6(f(a))$ (même si c'est bien égal à $f^7(a)$) qu'il faut utiliser, mais $f(f^6(a))$ ! Bon du coup, est-ce que tu peux démontrer ce que Poirot propose ?

    Pourquoi chercher une contradiction ? Tu n'auras pas de contradiction, tu obtiendras que $a$ est valeur d'adhérence
  • Topotopo
    Topotopo
    je me suis trompé

    donc on a $$\varepsilon>d(f^{\varphi(2n)}(a), f^{\varphi(n)}(a))> d(f^{\varphi(2n)-\varphi(n)},a)$$ alors a est limite de $(f^{\varphi(2n)-\varphi(n)}(a))$ donc a est limite d'une sus suite donc c'est une valeurs d'adhérence
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone: conseil. NE CHERCHE PAS À UTILISER DED CONNAISSANCES. Commence "avec rien" et laisse les outils s'inviter quand furieuse nécessité psy.

    Ici il te suffit de rédiger proprement pour e>0 que tu vas trouver n,p avec p assez grand devant n tels que dist( u(n+p)-u(n))<e ce qui te donnera f^p(a) à distance <e de a par retour arrière.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    @Topotopo : il faudrait que tu justifies rigoureusement que la suite $\left(f^{\varphi(2n)-\varphi(n)}\right)_n$ est bien une suite extraite de $(f^n)_n$. Ensuite on ne sait pas trop d'où sort ton $\varepsilon$ dans l'histoire, ça manque de rédaction !
  • christophe c
    christophe c
    Ma conviction, je peux me tromper, est que si un étudiant peine à faire cet exercice sans background, le maniement des extractions lui est encore plus difficile.

    Etant (c'est rare en ce moment) sur un pc, je mets une rédaction possible en blanc, mais ne clique dessus qu'en cas de détresse extrême :-D

    Solution en blanc sur blanc:

    [small]Je note $u:n\mapsto f^n(a)$
    Tu veux prouver que $\forall e>0 \forall n\exists p>n: dist(a,u_p)<e$. Ecrire ce qu'on veut prouver est souvent utile.

    Soit $e,n$. Du fait qu'il existe un nombre fini de boules de diamètre $e$ recouvrant tout l'espace, il existe $p,q$ tels que:

    1/ $dist(u_p, u_{p+q}) < e$
    2/ $q>n$

    Tu as alors ta conclusion: $dist(a,u_q)<e$ et $q>n$.    [/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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