Espace topologique et distance

Il y a des cadres où il n'y a pas de distance qui correspond à la notion de "voisinage", de "proximité" qui nous intéresse. Les espaces topologiques prennent ça en compte.
Et même quand il y a effectivement une distance qui y correspond, souvent elle ne nous intéresse pas, et c'est plus la structure des ouverts et des voisinages qui nous intéresse que la distance elle-même.
Par exemple si tu prends un espace vectoriel sur $\R$ de dimension finie, chaque norme définit une distance (via $d(x,y):= N(x-y)$), et toutes les normes étant équivalentes, on arrive à la conclusion que la notion de sous-ensemble ouvert ne dépend pas de la norme ! Ce qui veut dire que tu as une notion d'ouvert qui est là, et parfois c'est simplement elle qui nous intéresse, les normes spécifiques, elles, non. Par exemple cela permet de définir "fermé" sans faire appel aux normes etc.

Attention,

dans les espaces topologiques généraux, il n'y a pas de boules, puisqu'il n'y a pas de distances. On les définit soit par les ouverts (donnés à priori - l'ensemble de tous les ouverts de E est "une topologie sur E"), soit parles fermés, soit par les voisinages.

Cordialement.

NB : Voir sur ce site le cours de licence.