Monotonie d'une fonction ouverte de R dans R

Bonjour,
Je sèche sur un exercice de topologie : il faut montrer qu'une fonction ouverte de R dans R est monotone.

On ne suppose pas que cette fonction soit continue.
Pour rappel une fonction ouverte envoie un ouvert sur un ouvert.

De façon standard je suppose que f n'est pas monotone et montre d'abord que sur un intervalle où la fonction n'est pas monotone, la fonction n'atteint pas son extremum (si m est extremum, l'image d'un intervalle autour de f^-1(m) est un ouvert autour de m)
Le souci c'est que je ne vois pas ce qu'il faut faire ensuite.

Je ne trouve pas le résultat sur Google, en revanche il semble que si on ne suppose pas la continuité, l'énoncé est faux en considérant certaines fonctions.

Est-ce que vous avez une idée de la validité de l'énoncé, et éventuellement des pistes pour arriver à le démontrer le cas échéant ?
Merci !