Équivalence sous l'hypothèse de compacité
dans Topologie
Bonjour à tous !
Selon les endroits où je regarde, on demande pour le théorème d’Arzela-Ascoli à une partie $\mathcal{F}$ de l’espace $C(X)$ des fonctions de $X$, un espace métrique compact, d’être soit bornée, soit ponctuellement bornée. Aussi, je me pose la question suivante : a-t-on $\mathcal{F}$ ponctuellement bornée implique $\mathcal{F}$ bornée ? (Avec l’hypothèse de compacité).
Petit rappel de ce que veut dire ponctuellement bornée : \[
\forall x\in X,~\exists M_x ,~ \forall f\in \mathcal{F},~ |f(x)|\leq M_x
\] Merci pour votre aide.
B&B
Selon les endroits où je regarde, on demande pour le théorème d’Arzela-Ascoli à une partie $\mathcal{F}$ de l’espace $C(X)$ des fonctions de $X$, un espace métrique compact, d’être soit bornée, soit ponctuellement bornée. Aussi, je me pose la question suivante : a-t-on $\mathcal{F}$ ponctuellement bornée implique $\mathcal{F}$ bornée ? (Avec l’hypothèse de compacité).
Petit rappel de ce que veut dire ponctuellement bornée : \[
\forall x\in X,~\exists M_x ,~ \forall f\in \mathcal{F},~ |f(x)|\leq M_x
\] Merci pour votre aide.
B&B
Réponses
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On choisit $M_x >0$ pour tout $x$.
Soit $x\in X$, alors pour tout $f\in \mathcal{F}, |f(x)|\leq M_x$. Donc sur un voisinage ouvert $V_x$ de $x$, pour tout $y\in V_x$, $|f(y)| \leq 2M_x$ . Les $V_x$ recouvrent $X$ et donc ... -
Petite remarque supplémentaire : On note $Y$ l'ensemble des points où $\mathcal F $ bornée, autrement dit
\[Y=\{x\in X : \sup_{f\in F} |f(x)|<\infty\}.\]
Si $\mathcal F$ est équicontinue alors $Y$ est ouvert (cf message de matimax) et de la même façon on montre que $Y^C$ est ouvert donc que $Y$ est à la fois ouvert et fermé. En conclusion si $X$ est connexe alors il suffit de vérifier que $\mathcal F$ soit bornée en un seul point pour pouvoir appliquer le théorème d'Arzelà-Ascoli (en plus de l'équicontinuité). -
Merci Maxtimax,
Cependant, si on prend $X=[0,1]$ et pour partie de $C(X)$ la suite de fonction $(f_n)$ définie par $f_n(x)=n^2x$ sur $[0,1/n]$ et $f_n(x) = 1/x$ sur $]1/n,1]$, alors cette famille est ponctuellement bornée sans être bornée. -
Merci Corto. Que pensez-vous du contre-exemple? Soit la démo soit le contre-exemple est faux.
-
Boole et Bill : tu as raison, j'ai fait une (grossière) erreur : le voisinage $V_x$ dépend en fait de $f$... (je vais dire que c'est à cause de la fatigue, mais en réalité c'est la faute à un oubli de quantificateurs) Donc tu as ta réponse !
Sauf que ça marche si $\mathcal{F}$ est équicontinue, parce que dans ce cas le voisinage $V_x$ ne dépend plus de $f$ . Ton contrexemple n'est pas équicontinu -
De mon téléphone, max: je t'avais lu et considéré que tu m'avais fait exprès pour ne pas recopier i tegralement l'hypothèse d'equicontinuite.
Je poste avant d'entrer au ciné pour dire et rappeler que les admis d'un raisonnement SO T DES HYPOTHÈSES. Il n'y a JAMAIS d'erreur. Juste des hypothèses BIEN VISIBLES.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oui j'ai juste oublié ce que je pensais entre la fois où j'ai écrit mon message et la fois où j'ai tapé la correction :-D après coup, tu as raison, je me suis rendu compte que je ne l'avais juste pas écrit (ça je le mets sur le compte de la fatigue)
Mais du coup à première vue, mon argument semble incomplet (si on veut expliciter entièrement les hypothèses, ce que je préfère faire (:P) -
max a écrit:Mais du coup à première vue, mon argument semble incomplet
Bin, tu l'as laissé en exercice à B&B, non? Enfin c'est l'impression que ça m'avait donnée (pas relu).
De toute façon, je souhaiterai rappeler qu'avec Tychonov, Ascoli, etc, on touche PILE POIL à des énoncés qui sont:
1/ triviaux en ANS ***
2/ rédactionnels-lourdingues en classique.
Du coup pour les étudiants intéressés, jeter un oeil à l'ANS se serait pas forcément une perte de temps.
Si $E,F$ sont deux compacts, donc automatiquement munis de structures uniformes, une partie $A$ de $ C(E,F)$ est relativement compact pour la top de la conv uniforme dès lors qu'elle est équicontinue.
*** [small]En ANS (j'abrège superproche par $==$), ça s'écrit comme suit (on suppose $A$ fermé) : soit $g\in A$. Soit $f$ standard superproche de $g$ pour la conv simple. Soit $x\in E$. Soit $a$ std tel que $x$ superproche de $a$. Alors $f(a)$ et $g(a)$ sont superproches. Par EQUICONTINUITE, $f(x)==f(a)==g(a)==g(x)$.[/small]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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