Équivalence sous l'hypothèse de compacité

Petite remarque supplémentaire : On note $Y$ l'ensemble des points où $\mathcal F $ bornée, autrement dit
\[Y=\{x\in X : \sup_{f\in F} |f(x)|<\infty\}.\]
Si $\mathcal F$ est équicontinue alors $Y$ est ouvert (cf message de matimax) et de la même façon on montre que $Y^C$ est ouvert donc que $Y$ est à la fois ouvert et fermé. En conclusion si $X$ est connexe alors il suffit de vérifier que $\mathcal F$ soit bornée en un seul point pour pouvoir appliquer le théorème d'Arzelà-Ascoli (en plus de l'équicontinuité).

De mon téléphone, max: je t'avais lu et considéré que tu m'avais fait exprès pour ne pas recopier i tegralement l'hypothèse d'equicontinuite.

Je poste avant d'entrer au ciné pour dire et rappeler que les admis d'un raisonnement SO T DES HYPOTHÈSES. Il n'y a JAMAIS d'erreur. Juste des hypothèses BIEN VISIBLES.

max a écrit:

Mais du coup à première vue, mon argument semble incomplet

Bin, tu l'as laissé en exercice à B&B, non? Enfin c'est l'impression que ça m'avait donnée (pas relu).

De toute façon, je souhaiterai rappeler qu'avec Tychonov, Ascoli, etc, on touche PILE POIL à des énoncés qui sont:

1/ triviaux en ANS ***
2/ rédactionnels-lourdingues en classique.

Du coup pour les étudiants intéressés, jeter un oeil à l'ANS se serait pas forcément une perte de temps.

Si $E,F$ sont deux compacts, donc automatiquement munis de structures uniformes, une partie $A$ de $ C(E,F)$ est relativement compact pour la top de la conv uniforme dès lors qu'elle est équicontinue.

*** [small]En ANS (j'abrège superproche par $==$), ça s'écrit comme suit (on suppose $A$ fermé) : soit $g\in A$. Soit $f$ standard superproche de $g$ pour la conv simple. Soit $x\in E$. Soit $a$ std tel que $x$ superproche de $a$. Alors $f(a)$ et $g(a)$ sont superproches. Par EQUICONTINUITE, $f(x)==f(a)==g(a)==g(x)$.[/small]