Espace métrique complet, distance équivalente

Non pour topologiquement équivalentes : $\R$ et $]0,1[$ sont homéomorphes.
Pour métriquement équivalentes, je ne suis plus sûr de la définition mais si je ne me méprends pas, oui, et selon la définition ça devrait être facile

-Consulter Bourbaki topologie générale chapitre 9 (ou 8 ? de toutes façons ils sont dans le même tome) pour de nombreux résultats intéressants sur ces sujets.
Soit $(E,d)$ un espace métrique complet.
-Tout ouvert de $E$ est complet pour une certaine métrique (qui réalise la même topologie que topologie induite sur ledit ouvert).
- Ce résultat se généralise aux intersections dénombrables d'ouverts de $E$. Par exemple il existe une métrique complète sur $\R \setminus \Q$ (pour l'anecdote, $\R \setminus \Q$ est homéomorphe à $\N ^ {\N}$ muni de la topologie produit).
Soit $(E,d)$ un espace métrisable séparable. Alors $(E,d)$ est polonais (i.e. complet pour une certaine métrique) si et seulement si il est homéomorphe à une intersection dénombrable d'ouverts de $[0,1]^{\N}$.