Ensemble ouvert

math89 · June 2019

Bonjour
Comment montrer que $$A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x^2+y^2>0\}

$$ est ouvert ?

Soit $(x,y)\in A$ il faut trouver $r>0$, tel que $B((x,y),r)\subset A$.
Soit $(\alpha,\beta)\in B((x,y),r)$ donc $|\alpha-x|^2+| \beta-y |^2>0$.

Comment continuer s'il vous plaît ?

Poirot · June 2019

$$A = \mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\}$$

Boole et Bill · June 2019

Bonjour
Pour procéder comme tu souhaites le faire, je te conseille de faire un dessin. Sinon, une méthode alternative consiste à regarder la fonction $f:\R^2\rightarrow \R$ définie par $f(x,y)=x^2+y^2$. Que peux-tu dire de cette fonction ?

Boole et Bill · June 2019

(Ou encore plus simple, la méthode de Poirot)

math89 · June 2019

Et pourquoi $R^2\setminus\{(0,0)\}$ est ouvert ?

La fonction est continue, mais je veux travailler avec la définition j'ai fait un dessin mais je ne sais pas comment écrire.

Poirot · June 2019

$\{(0,0)\}$ est fermé dans $\mathbb R^2$, donc son complémentaire y est ouvert.

Ou sinon, si $(x,y) \in \mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\}$, on a $x \neq 0$ ou $y \neq 0$. Si $x \neq 0$ alors $|x| > 0$ et on prend $r \in ]0, |x|[$ de sorte que $(0,0) \not \in B((x,y), r)$ puisque $||(x,y)-(0,0)||^2 = |x|^2 + |y|^2 \geq |x|^2 > r^2.$ Si $y \neq 0$ on fait la même chose.