Nœthérianité et compacité

Boole et Bill
Boole et Bill
dans Topologie
Bonjour,
Il existe des théories mathématiques faisant le pont entre algèbre, analyse et topologie tout particulièrement. La définition usuelle de compacité dit qu’on peut extraire un recouvrement fini d’un recouvrement ouvert, la définition de nœthérianité dit que tout sous-module est de type fini, autrement dit de tout famille de générateurs on peut extraire une famille finie de générateurs. N’y a-t-il pas un lien entre les deux notions présentées dans le titre? En resolvant des exercices, on utilise parfois le même genre d’argument. Y a-t-il des catégories la dessous? Des faisceaux? (Je ne sais pas vraiment ce que sont ces derniers).
Merci pour vos réponses.
B&B

PS: algèbre ou topologie? Je ne savais pas trop

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    On pourrait espérer un lien via la géométrie algébrique, malheureusement.tout spectre d'anneau est quasi-compact, et la noethérianité (topologique) du spectre n'est pas équivalente à celle (algébrique) de l'anneau (et n'est pas liée à la compacité)

    Il y a un lien mais qui n'est pas celui que tu évoques puisque rien à voir avec la résolution d'exercices, qui est qu'un espace topologique est compact si et seulement si dans sa catégorie d'ouverts, son $\hom$ commute aix colimites filtrées, et que si $R$ est noethérien alors tout module de type fini vérifie ça dans la catégorie des modules.

    Au delà de ça je ne suis pas sûr. À mon sens, compact c'est une question de "pas trop large", alors que noethérien c'est "pas trop haut".

    Peut-être aurais-tu plus de chances en mettant des exemples de raisonnements similaires que tu as rencontrés ?
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Salut Maxtimax.
    Par exemple pour montrer que les équivalences de la défintions de la nœthérianité, à savoir toute suite croissante de sous-modules est stationnaire, de toute famille non vide de sous-modules on peut extraire un élément maximal. Prenons l’implication de la définition à la première propriété. On considère une suite de sous-modules croissante, on prend l’union qui est un sous-module, et là, la nothérianité nous donne que l’union est de type fini etc. C’est ce genre de chose qui ressemble à la compacité de mon point de vue. J’avais d’autres exemples en tête hier mais c’est un peu flou. La preuve mentionnée plus haut ressemble à celles où on va prendre un espace métrique, fixer un $r>0$ et utiliser la compacité pour dire qu’il existe un recouvrement fini de l’espace métrique par des boules de rayon $r$.
  • christophe c
    christophe c
    Tu prends la topologie (de mon téléphone) engendrée par (les points sont t les idéaux):

    Ne pas contenir l'élément x est un ouvert

    Contenir comme sous ensemble l'idéal J est un ouvert.

    Elle est séparée.

    Un anneau est noetherien ssi elle est compacte.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    Un espace topologique $(X,\sigma)$ est dit quasi-compact si de tout recouvrement de $X$ par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini.
    (NB: un espace est dit compact lorsqu'il est quasi-compact et séparé).

    Cela étant, soit $(E,\tau)$ un espace topologique. Les énoncés suivants sont équivalents.
    1°) Toute partie de $E$ est quasi-compacte (pour la topologie induite bien sûr).
    2°) Toute famille d'ouverts de $(E,\tau)$ possède un élément maximal pour l'inclusion
    2 bis °) Toute famille de fermés de $(E,\tau)$ possède un élément minimal pour l'inclusion
    3°) Toute suite croissante d'ouverts de $(E,\tau)$ est stationnaire.
    3 bis°) Toute suite décroissante de fermés de $(E,\tau)$est stationnaire.
    4°) Tout ouvert de $(E,\tau)$ est quasi-compact.

    La preuve est en exo (c'est facile).
    On appelle espace noethérien un espace qui vérifie ces propriétés.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @foys: je n'ai pas trop l'impression (je peux me tromper) que le souci de B&B était la topologie de Zariski. Elle ne concerne d'ailleurs que relativement peu les noethériens seuls.

    Le critère que j'ai donné, ie que la topologie engendrée** par

    $$ \{X \mid \exists J,a: X\in \{ \{K\mid J\subseteq K\} ; \{K\mid a\notin K\} \}\}$$

    est séparée et (compacte ssi l'anneau est noethérien) caractérise les noethériens.

    Il faut aussi signaler qu'un espace topologique noethérien séparé est forcément fini.

    ** lettres majuscules: idéaux; lettres minuscules: éléments de l'anneau
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Une remarque: la topologie mise sur $2^A$ est déjà compacte (séparée et compacte). Or on ne peut pas augmenter une topologie compacte sans détruire la compacité. La topologie que j'ai donnée "augmente en principe" celle de $2^A$... sauf quand l'anneau est noethérien.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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