Théorie de la topologie modérée
dans Topologie
Bonjour,
Je suis intéressé par le sujet de Topologie modérée ( Tame Topology en anglais ) qui constitue une des grandes contributions majeurs de Grothendieck d'après le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck
Je me base dans mon départ à l'exploration de ce sujet sur l'article suivant : https://arxiv.org/pdf/1603.03016.pdf qui ne compte que $ 9 $ pages. Donc, vous pouvez le parcourir pour savoir de quoi je parle pour les débutants.
Pour les habitués à ce sujet, ce lien çi dessus souligne vers la fin que Grothendieck n'a jamais rédigé des écrits à ce sujet, il a juste parlé d'un éventuel projet qu'il compte entamer. Mais, il ne l'a jamais entamé. Non ? L'auteur nous informe que c'est Thom René qui s'est donné la peine de développer des idées à ce sujet, mais, personnellement, je ne sais pas si Grothendieck a déjà au cours de sa vie déterminer les fondements et les définitions de cette théorie . Dans wiki, ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck , on précise que parmi les grandes contributions majeurs de Grothendieck est la Topologie modérée. Cela veut dire que Grothendieck a déjà mis en place quelques cours et des écrits pour s'initier à ce domaine. Non ?
Où en est-t-on dans cette théorie ? et où je peux trouver un cours qui présentent les définitions et les motivations derrière cette théorie ? Je ne trouve aucune trace de cette théorie sur le net malheureusement.
Merci d'avance.
Je suis intéressé par le sujet de Topologie modérée ( Tame Topology en anglais ) qui constitue une des grandes contributions majeurs de Grothendieck d'après le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck
Je me base dans mon départ à l'exploration de ce sujet sur l'article suivant : https://arxiv.org/pdf/1603.03016.pdf qui ne compte que $ 9 $ pages. Donc, vous pouvez le parcourir pour savoir de quoi je parle pour les débutants.
Pour les habitués à ce sujet, ce lien çi dessus souligne vers la fin que Grothendieck n'a jamais rédigé des écrits à ce sujet, il a juste parlé d'un éventuel projet qu'il compte entamer. Mais, il ne l'a jamais entamé. Non ? L'auteur nous informe que c'est Thom René qui s'est donné la peine de développer des idées à ce sujet, mais, personnellement, je ne sais pas si Grothendieck a déjà au cours de sa vie déterminer les fondements et les définitions de cette théorie . Dans wiki, ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck , on précise que parmi les grandes contributions majeurs de Grothendieck est la Topologie modérée. Cela veut dire que Grothendieck a déjà mis en place quelques cours et des écrits pour s'initier à ce domaine. Non ?
Où en est-t-on dans cette théorie ? et où je peux trouver un cours qui présentent les définitions et les motivations derrière cette théorie ? Je ne trouve aucune trace de cette théorie sur le net malheureusement.
Merci d'avance.
Réponses
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Tu sais de quoi ça parle au moins ? Pourquoi est-ce que tu t'y intéresses ?
Au passage c'est René Thom et pas Thom René. -
Je m'y intéresse, parce que :Poirot a écrit:Pourquoi est-ce que tu t'y intéresses ?
- J'apprends sur le tas que la théorie de Topologie que nous apprenons depuis L1, et sur quelle se basent un tas de théories : Topologie algébrique, Topologie géométrique, géométrie différentielle, Topologie différentielle, ... etc, n'est pas la bonne topologie ou bien n'est pas le bon cadre pour faire de la vrai topologie ou réaliser des progrès et des développements topologiques, parce qu'elle présente un tas de failles et d'inconvénients repérées et dénombrées par Grothendieck. C'est pour cela que Grothendieck envisage l'existence d'une autre théorie qu'il l'a appelé : Topologie modérée, capable de remédier à ces pathologies, et qui représente une extension de la topologie classique que tu connais.
- Je voudrais finir d'apprendre tout ce qui a été découvert par Grothendieck en mathématiques durant toute sa vie au plus vite. Les contributions de Grothendieck en mathématiques sont exhaustivement cité sur le lien wiki inséré dans mon premier poste. -
Eh bien ! Quel programme ! Dire que je me sers tous les jours de topologie, heureusement que l'on m'apprend soudainement que c'est de la gnognotte !
Quand tu auras finis d'apprendre tout ce qu'a fait Grothendieck tu voudras bien en faire de même avec l’œuvre de Galois et ses successeurs ? Ça ne te prendra pas beaucoup de temps, vu la vitesse à laquelle tu balayes toutes ces grandes théories B-)- -
D'abord la topologie modérée, puis les motifs, la preuve de la conjecture de Hodge, et enfin en point d'orgue, le calcul matriciel sur des matrices 3x3.
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S'il vous plaît, qu'est ce que vous connaissez sur Tame topology. Comment est-t-elle définie ?
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NoName : en chemin il faudra réussir le titanesque (Grothendieck lui-même en parlait comme de sa plus grande contribution) calcul de $\hom((\Z/2\Z)^2, \Z/2\Z)$
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Le mot exhaustif s'oppose généralement à des formulations comme "contributions majeures" (sous entendu il y en a d'autre, plus mineures, qui ne sont pas listées). Enfin, pour ce que ça change de toute façon...pablo a écrit:Les contributions de Grothendieck en mathématiques sont exhaustivement cité sur le lien wiki inséré dans mon premier poste. -
Maxtimax écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1827118,1827664#msg-1827664
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Calcul matriciel sur des matrices 2x1, une bonne étape avant le redoutable cas des matrices 3x3. -
@Maxtimax :
Que vient faire $\hom((\Z/2\Z)^2, \Z/2\Z)$ dans notre histoire de Tame topology ?. -
Pablo : non c'est juste que tu disais vouloir en finir avec l'oeuvre de Grothendieck, et je me dis que ce serait bien qu'entre-temps tu t'attaques à cet énorme calcul
-
Bonjour,
Et la diagonalisation des matrices $1\times 1$.
Cordialement,
Rescassol -
@Maxtimax :
Si on considère la suite exacte courte suivante : $ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \to 0 $.
$ \hom((\Z/2\Z)^2, \Z/2\Z) = \mathrm{Ext}^0 ( (\Z/2\Z)^2 , \Z/2\Z ) $
$ = \mathrm{Ext}^0 ( \Z/2\Z , \Z/2\Z ) \oplus \mathrm{Ext}^0 ( \Z/2\Z, \Z/2\Z ) = \{ \ y \in \Z/2\Z \ | \ 2 y = 0 \ \} \oplus \{ \ y \in \Z/2\Z \ | \ 2 y = 0 \ \} $
$ = \Z/2\Z \oplus \Z/2\Z $
Non ? -
Utilisation très judicieuse de Ext et de la suite exacte qui joue un rôle très important dans ton calcul mais je suis un peu déçu de pas voir les Ext supérieurs ...
-
Lupulus: tu m'ôtes les mots de la bouche. Utilisation très astucieuse de l'additivité de $Ext$ en plus, s'il en est !
-
Pour les Ext supérieurs, c'est :
$ \mathrm{Ext}^1 ( (\Z/2\Z)^2 , \Z/2\Z ) = \Z/2\Z \oplus \Z/2\Z $
$ \mathrm{Ext}^n ( (\Z/2\Z)^2 , \Z/2\Z ) = 0 $ avec : $ n \geq 2 $. -
Comme on est sur un fil dédié à Grothendieck, je propose de calculer Hom dans la catégorie des anneaux commutatifs plutôt que dans la catégorie des groupes abéliens. Je pense que Grothendieck aurait apprécié cette preuve, entièrement élémentaire au passage.
On utilise l'équivalence de catégorie entre schémas affine et anneaux commutatifs. Par conséquent, $\text{Hom}_{Ring}((\Bbb Z/2 \Bbb Z)^{\oplus 2}, \Bbb Z/2 \Bbb Z)$ est isomorphe à $\text{Hom}_{Sch}(\text{Spec}(\Bbb Z/2 \Bbb Z), \text{Spec}(\Bbb Z/2 \Bbb Z)^{\oplus 2}) )$. On utilise ensuite que $\text{Spec}$ commutes avec les coproduits finis. On rappelle aussi le résultat non-trivial $Spec(k) = \{pt\}$, où $k$ est ici un anneau commutatif tel que l'endomorphisme $x \mapsto ax$ est inversible pour tout $a \in k$ (c'est un résultat assez avancé qu'on admettra). On obtient bien que $\text{Hom}_{Ring}((\Bbb Z/2 \Bbb Z)^{\oplus 2}, \Bbb Z/2 \Bbb Z) \cong \text{Hom}_{Sch}(\{pt\}, \{pt\} \cup \{pt\})$. Il est à présent aisé de conclure. -
Très joli Lupulus. :-)
-
Lupulus : à mon tour, à mon tour ! On sait que $\hom( (\Z/2\Z)^2 , \Z/2\Z )$ est isomorphe à $H^1((\Z/2\Z)^2, \Z/2\Z)$, qui est lui-même isomorphe à $H^1( K((\Z/2\Z)^2,1), \mathbb{F}_2)$.
Or $\R P^\infty$ est un $K(\Z/2\Z,1)$ et comme les groupes d'homotopie préservent le produit, $(\R P^\infty)^2)$ est un $K((\Z/2\Z)^2,1)$.
En particulier, notre $\hom$ est isomorphe à $H^1((\R P^\infty)^2,\mathbb{F}_2)$. Or $\mathbb{F}_2$ est un corps, donc on a l'isomorphisme de Künneth : $H^1((\R P^\infty)^2,\mathbb{F}_2)\simeq H^0(\R P^\infty, \mathbb F_2)\otimes H^1(\R P^\infty,\mathbb{F}_2)\oplus H^1(\R P^\infty, \mathbb F_2)\otimes H^0(\R P^\infty,\mathbb{F}_2)$. $\R P^\infty$ est connexe donc son $H^0$ est $\mathbb{F}_2$, et son $H^1$ est (par le théorème de Hurewicz et le théorème des coefficients universels, ou par cohomologie cellulaire) $\Z/2\Z$.
Finalement $\hom( (\Z/2\Z)^2 , \Z/2\Z )\simeq (\Z/2\Z)^2$. B-)- pas étonnant que Pablo ait eu à utiliser des Ext ! -
Pour ceux qui ne connaissent pas ce qu'est $ K(A,n) $ figurant dans le message ci-dessus de Maxtimax, c'est simplement un groupe simplicial ( Ensemble simplicial $ \in \mathrm{sSet} $ + structure de groupe ) qui s'identifie ( ou qui n'est autre que ) à un complexe de chaînes qui s'annule dans tous les degrés sauf en degré $ n $ ou c'est égale à l'anneau $ A $, via la correspondance de Dold-Kan. :-)
-
-
Bonjour,
S'il y a quelque chose de modéré dans l'histoire, c'est bien l'empressement de Pablo quand on lui pose un exercice dont il n'a pas la solution.
Cordialement,
Rescassol -
Oui. Tu dis ça parce que tu souffres de jalousie jusqu'aux veines Rescassol. Va te soigner à l’hôpital parce que tu risques de t'effondrer.
-
Bonjour,
Prouve que j'ai tort.
Euh ... jaloux de quoi ? Je ne vois pas.
Cordialement,
Rescassol -
Jaloux devant une telle virtuosité mathématique, voyons!
Tu aurais pensé toi, à introduire des $Ext$ pour compter le nombre de matrices de taille 2x1, hein? HEIN? -
$ \mathrm{Hom}_{ \Bbb Z } ((\Bbb Z/3\Bbb Z)^{\oplus 3}, (\Bbb Z/3 \Bbb Z)^{\oplus 2}) = \displaystyle \bigoplus_{i=1,2,3} \displaystyle \bigoplus_{ j=1,2} \mathrm{Ext}^0 ( \Bbb Z/3 \Bbb Z , \Bbb Z/3 \Bbb Z ) = ( \Bbb Z/3 \Bbb Z )^6 $
Non ? -
Oui
Sinon pour revenir au sujet, il y a plusieurs résultats dans google. Par exemple tu peux regarder ici : https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/polyens/OMIN.pdf -
Merci. Je vais l'apprendre et te tenir au courant. J'espère qu'il contient la notion de tame topologie. La plupart des cours que j'ai pu consulter n'abordent que le sujet de $ \mathrm{o} $ - minimalité sans évoquer un poil la notion de tame topology. Je ne sais pas pourquoi.
-
Rectification :
$ \mathrm{o} $ - minimal structure et tame topology sont deux mots qui veulent dire la meme chose.
Voir ici : http://matematica.unipv.it/en/appuntamenti/s530
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Bonjour!
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