Distance et fonction injective

Bonsoir,

On défini la fonction $ f_x: E\to \mathbb{R}$ ou $(E,d)$ est un espace métrique

avec $f_x(y)= d(y,x)-d(y,x_0)$

comment montrer que $F$ définie par $F(x)=f_x$ est une fonction injective?

Soit $\alpha,\beta \in E$

$F(\alpha)= F(\beta) \Longleftrightarrow f_{\alpha}(y)-f_{\beta}(y)=0 \Longleftrightarrow d(y,\alpha)-d(y,\beta)=0$

Comment arriver au fait que $\alpha =\beta$