Espace de Banach
Bonsoir
Comment montrer que c'est un espace de Banach ?
$E=\{f\in C^1([0,\infty[,R),~ \lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{1+t}=\lim_{t\to\infty}f'(t)=0\}$
muni de la norme $$||f||=\max\left(\sup\limits_{t\geq 0}\dfrac{|f(t)|}{1+t},
\sup\limits_{t\geq 0}|f'(t)|\right).
$$ J'ai pris une suite de Cauchy $(u_n)$ je suis arrivé à que $u'_n(t)$ est de Cauchy dans $\R$.
Comment continuer
Comment montrer que c'est un espace de Banach ?
$E=\{f\in C^1([0,\infty[,R),~ \lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{1+t}=\lim_{t\to\infty}f'(t)=0\}$
muni de la norme $$||f||=\max\left(\sup\limits_{t\geq 0}\dfrac{|f(t)|}{1+t},
\sup\limits_{t\geq 0}|f'(t)|\right).
$$ J'ai pris une suite de Cauchy $(u_n)$ je suis arrivé à que $u'_n(t)$ est de Cauchy dans $\R$.
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Réponses
Je n’ai pas résolu l’exercice mais en général dans ce genre de situation on s’en sort en montrant que si la suite de fonctions $(u_n)$ est de Cauchy dans $E$, alors la suite $(u_n(t))$ est de Cauchy dans $\R$, qui est complet. On définit alors une fonction $u$ par $u(t)=\lim u_n(t)$, on vérifie qu’elle est la limite dans $E$ de $(u_n)$ et qu’elle est dans $E$.
j'ai trouvé que $ \dfrac{|u_p(t)-u_q(t)|}{1+t}<\varepsilon$ et $ |u'_p(t)-u'_q(t)|<\varepsilon$
Donc $(u_n'(t))$ converge vers $v(t)$ et pour $u_n(t)$ ?
Si tu sais que l'espace des fonctions continues et bornées sur $\mathbb R^+$ muni de la norme infinie est complet, tu obtiens immédiatement que les suites $(u_n')_n$ et $\left(t \mapsto \frac{u_n(t)}{1+t}\right)_n$ convergent pour cette même norme. Si on note $(f, g)$ la limite de la suite $\left(t \mapsto \frac{u_n(t)}{1+t}, u_n'\right)$, il s'agit de voir que $t \mapsto (1+t)f(t) =: u$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^+$ et que $g=u'$.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je ne sais pas comment faire pour voir que
> les suites $(u_n')_n$ et $\left(t \mapsto \frac{u_n(t)}{1+t}\right)_n$ convergent pour cette même norme
Donc $u_n(t)$ converge vers $ (1+t) f(t)$ et $u_n'(t)$ converge vers g(t).
Mais je n'arrive pas à montrer la continuité.
??
comment montrer que $(1+t)f(t)$ est derivable
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$, et soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définies et de classe $\mathcal C^1$ sur $I$. On suppose que la suite $(f_n)_n$ converge simplement en au moins un point de $I$, et que la suite $(f_n')_n$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$, vers une fonction $g$. Alors $(f_n)_n$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$, vers une fonction $f$ de classe $\mathcal C^1$ telle que $g=f'$.
La preuve n'est pas très dure si tu sais qu'une limite uniforme de fonctions continues est continue et que tu connais l'inégalité des accroissements finis.