Démonstration Théorème de Heine
Bonjour à tous,
Je bloque sur la démonstration suivante du théorème de Heine. Je n'arrive pas à montrer que pour deux points distants de moins que alpha, on peut trouver une boule du recouvrement fini défini avant qui les contient tous les deux.
Je suis preneur de toute piste de réflexion :-)
Merci d'avance !
Je bloque sur la démonstration suivante du théorème de Heine. Je n'arrive pas à montrer que pour deux points distants de moins que alpha, on peut trouver une boule du recouvrement fini défini avant qui les contient tous les deux.
Je suis preneur de toute piste de réflexion :-)
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Réponses
Il n'y a même pas 2 semaines, j'en ai mise une sur le forum, ça doit se trouver facilement sur google je pense, tu tapes:
Voilà: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1826346,1826518#msg-1826518
(Remarque qu'on cherche à ce que la boule $B(x_i, \alpha(x_i))$ contienne les deux points, pas $B(x_i, \alpha(x_i)/2)$ !)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1766628,1766628#msg-1766628
Du coup, il est présentement devant à nouveau un exercice de rédaction. Il a posté le plan de son prof, et doit rechercher une rédaction formelle parfaite (et non une paraphrase intuitive du plan).
Donc, peut-être qu'on le laissait galérer une demi-journée, juste en lui disant que tout est dit et bien dit dans l'extrait photo qu'il a posté (je retire donc ma critique de l'usage de l'axiome du choix, car on pourra voir après).
QB doit aller jusqu'au bout de l'épreuve à laquelle il fait face. Ce que tu as dit Max ne pose pas de souci, puisque c'est encore de l'intuitif. Je crois qu'il veut un truc "accepté par le logiciel COQ" :-D (métaphore).
Effectivement, je m'étais trompé sur le rayon de la boule...
Cela dit, je ne suis pas sûr de comprendre en quoi l'axiome du choix pose un problème ici, j'ai l'impression qu'on n'utilise que la continuité et le lemme de Lebesgue...
Par ailleurs, il "pose"*** un problème de syntaxe chez les profs de prepa qui écrivent trop souvent :
$$ \forall x\exists y_x\dots$$
à la place de
$$ \forall x\exists y\dots$$
Mais c'est une autre histoire. Le problème posé est qu'une variable liée n'a pas d'indice (il faut juste penser à la sous-phrase): imagines, si tu commençais à lire des $<<\exists f(a)$ tel que$>>$, tu verrais comme ça finirait par être difficile à réécrire correctement.
La bonne version si on y tient (c'est là qu'est AC) est:
$$\exists y\forall x: \dots y_x\dots $$
Le "il existe" est AVANT le "pour tout".
*** tu peux le voir aussi avec la négation: $\exists x\forall y_x: \dots $ :-D de la forme incorrecte.
Normal, c'est faux. Si tu arrives à prouver ça un jour, tu seras le roi du monde.
Je n'avais pas lu ce que t'a écrit max, mais maintenant oui et il t'aide juste pour APRES avoir admis ça.
Essaie de prouver Heine par toi-même, c'est bien plus fructifiant.
Il existe bien un $\beta$ qui a cette propriété, mais pas le $\alpha $ naif auquel tu sembles vouloir t'intéresser.
Je répare de mon téléphone: appelle "nombre de Lebesgue de (x,R) le rayon de la plus grande boule ouverte incluse dans au moins un ouvert de R.
Pour chaque R cette fonction est continue en x à valeurs strictement positives. Elle atteint donc son minimum. C'est ca "le bon" beta loool et non le min des alpha i. Ça sent le chargé de TD paresseux qui n'a pas fait attention ton image :-D (bon ils sont pas payés CheH de non plus)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,1830668,page=7#msg-1830668 te permettra un petit pluss et pas juste d'excursionner dans Heine.
Une preuve de Heine peut s'écrire comme suit:
1/ Avec pour chaque $e,u>0$ et $A(e,u) := \{x\mid \forall y\in Boule(centre:=x; rayon:=u): dist(f(x),f(y)) < e \}$, pour tout $e>0$:
$$u>0\mapsto A(e,u)$$
est un recouvrement ouvert de $E$
2/ Soit $e>0$. Il existe $u>0$ tel que $A(e,u)=E$, et donc, pour ce $u:$
$$x\mapsto V(x):= \{B:=Boule(x,u) \mid \forall y\in B: dist(x,y) <e \}$$
recouvre $E$
3/ Soit $\beta>0$ un nombre de Lebegues de $V$, $x,y$ tels que $dist(x,y)< \beta/43$. En prenant $t\in F$ tel que $\{x;y\}\in V(t)$ tu as alors que $dist(f(x),f(y)<e$
[small]*** tu es venue demander comment faire l'impossible, en ce sens, guidé par un poly bugguant, on ne peut te reprocher un manque de ténacité.[/small]