Qu'as-tu essayé ? As-tu vraiment commencé à penser à ce problème ? Aux valeurs prises par cos(x) et cos(y) ?
T'es-tu seulement posé la question de savoir si c'est bien une distance ?
Je peux dire qu'il existe une suite $x_n=n$ pour tout $y$ fixe $\lim_{n\to+\infty} d(x_n,y)=\lim_{n\to+\infty}|\exp(n)-\exp(y)|=+\infty$ donc $d$ n'est pas bornée.
Bonjour
Comment montrer que les deux distances $|x-y| $ et $|\exp(x)-\exp(y)|$ ne sont pas équivalence sur $\mathbb{R}$ ?
Je sais que $\exp$ n'est pas lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ donc on a sans doute pas l'inégalité $|\exp(x)-\exp(y)|\leq b|x-y|$ mais est-ce qu'on a $\exists a>0,\ \forall x,y\in \mathbb{R},\ a|x-y|\leq |\exp(x)-\exp(y)|$ ?
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur cette distance. AD]
Supposons qu'il existe $a>0$ tel que pour tout $(x,y)\in\R^2$, on ait $a|x-y|\le|\exp x-\exp y|$. Fixons $x$ et faisons tendre $y$ vers $x$. On obtient alors, vu que la dérivée de l'exponentielle est l'exponentielle : $a\le\exp x$. Ceci ne peut être vrai pour tout $x$, d'où une contradiction. Idem en remplaçant $\le$ par $\ge$.
Topotopo écrivait :
> Je sais que $\exp$ n'est pas lipschitzienne sur ²$\mathbb{R}$ donc on a sans doute pas
> l'inégalité $|\exp(x)-\exp(y)|\leq b|x-y|$
Est-ce que quelqu'un a compris ce raisonnement ?
"$x\to e^x$ n'est pas Lip sur $\mathbb{R^+}$ pourtant l'inégalité citée est vraie sur $\mathbb{R^+}$"
Réponses
Qu'as-tu essayé ? As-tu vraiment commencé à penser à ce problème ? Aux valeurs prises par cos(x) et cos(y) ?
T'es-tu seulement posé la question de savoir si c'est bien une distance ?
Cordialement.
Une fonction est bornée si $\exists M>0, \forall x,y\in \mathbb{R}, |d(x,y)|<M$
Mais je n'ai pas d'idée sur comment continuer.
Comment montrer que les deux distances $|x-y| $ et $|\exp(x)-\exp(y)|$ ne sont pas équivalence sur $\mathbb{R}$ ?
Je sais que $\exp$ n'est pas lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ donc on a sans doute pas l'inégalité $|\exp(x)-\exp(y)|\leq b|x-y|$ mais est-ce qu'on a $\exists a>0,\ \forall x,y\in \mathbb{R},\ a|x-y|\leq |\exp(x)-\exp(y)|$ ?
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur cette distance. AD]
> Je sais que $\exp$ n'est pas lipschitzienne sur ²$\mathbb{R}$ donc on a sans doute pas
> l'inégalité $|\exp(x)-\exp(y)|\leq b|x-y|$
Est-ce que quelqu'un a compris ce raisonnement ?
"$x\to e^x$ n'est pas Lip sur $\mathbb{R^+}$ pourtant l'inégalité citée est vraie sur $\mathbb{R^+}$"