Distance bornée
Réponses
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Bonjour.
Qu'as-tu essayé ? As-tu vraiment commencé à penser à ce problème ? Aux valeurs prises par cos(x) et cos(y) ?
T'es-tu seulement posé la question de savoir si c'est bien une distance ?
Cordialement. -
Oui c'est une distance, je me suis je trompé c'est exp à la place de cos .
Une fonction est bornée si $\exists M>0, \forall x,y\in \mathbb{R}, |d(x,y)|<M$
Mais je n'ai pas d'idée sur comment continuer. -
Est-ce que la fonction $x \mapsto d(x,0)$ est bornée pour commencer ?
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Non, si $x$ tend vers l'infini alors $\exp(x)$ tend aussi vers l'infini.
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Je peux dire qu'il existe une suite $x_n=n$ pour tout $y$ fixe $\lim_{n\to+\infty} d(x_n,y)=\lim_{n\to+\infty}|\exp(n)-\exp(y)|=+\infty$ donc $d$ n'est pas bornée.
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C'est vrai, mais tu n'as même pas besoin de le vérifier pour tout $y$, seule une valeur particulière suffirait pour infirmer le caractère borné.
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Bonjour
Comment montrer que les deux distances $|x-y| $ et $|\exp(x)-\exp(y)|$ ne sont pas équivalence sur $\mathbb{R}$ ?
Je sais que $\exp$ n'est pas lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ donc on a sans doute pas l'inégalité $|\exp(x)-\exp(y)|\leq b|x-y|$ mais est-ce qu'on a $\exists a>0,\ \forall x,y\in \mathbb{R},\ a|x-y|\leq |\exp(x)-\exp(y)|$ ?
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur cette distance. AD] -
Connais-tu le théorème des accroissements finis ? Cela répondra à tes deux questions
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Mais ce théorème c'est sur un borné pas sur $\mathbb{R}$
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Supposons qu'il existe $a>0$ tel que pour tout $(x,y)\in\R^2$, on ait $a|x-y|\le|\exp x-\exp y|$. Fixons $x$ et faisons tendre $y$ vers $x$. On obtient alors, vu que la dérivée de l'exponentielle est l'exponentielle : $a\le\exp x$. Ceci ne peut être vrai pour tout $x$, d'où une contradiction. Idem en remplaçant $\le$ par $\ge$.
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Topotopo écrivait :
> Je sais que $\exp$ n'est pas lipschitzienne sur ²$\mathbb{R}$ donc on a sans doute pas
> l'inégalité $|\exp(x)-\exp(y)|\leq b|x-y|$
Est-ce que quelqu'un a compris ce raisonnement ?
"$x\to e^x$ n'est pas Lip sur $\mathbb{R^+}$ pourtant l'inégalité citée est vraie sur $\mathbb{R^+}$"Le 😄 Farceur -
Quelle inégalité?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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