Voisinage

Alors je n'ai pas d'exemple qui me vienne immédiatement à l'esprit, mais parfois on définit des trucs qui ne sont pas ouverts, mais qui sont des voisinages. Bien sûr le plus souvent on pourrait prendre l'ouvert en question et ça ne changerait pas grand chose.
Une autre manière de le voir est que "voisinage" c'est un changement de perspective par rapport à "intérieur" : si tu es convaincu que la notion d'intérieur est intéressante, alors celle de voisinage doit l'être aussi puisque "$A$ est un voisinage de $x$" c'est équivalent à "$x$ est dans l'intérieur de $A$". Donc c'est la même notion, sauf que intérieur c'est du "point de vue" de $A$ alors que voisinage c'est "du point de vue" de $x$.

Un exemple où le mot est intéressant : tu veux prouver que $U$ est ouvert. Souvent une manière de le faire c'est de prendre $x\in U$ et de trouver (avec les autres infos que tu as) $V\subset U$, $x\in V$ dont tu sais (pour d'autres raisons) qu'il est ouvert. Ainsi tu prouves que $U$ est un voisinage de tous ses points, donc il est ouvert. Ici il n'y a pas d' "utilité" à proprement parler mais ça donne un cadre où la notion apparaît.

La question a été posée sur StackExchange, une réponse est que cela donne deux notions différentes de séparation (selon que l'on considère que les points doivent être séparés par des voisinages ouverts ou par des voisinages tout court).

Une autre réponse possible est "la famille des voisinages d'un point est stable par sur-ensemble et c'est pratique", mais je ne sais pas si c'est si convaincant.

1 ) il faut dire aussi qu'avec la notion de voisinage on peut parler du filtre des voisinage d'un point et dire qu'un filtre converge vers $x$ s'il contient le filtre des voisinages de $x$.

La famille des ouverts contenant $x$ n'est pas un filtre...

2) on peut donner une définition équivalente d'une topologie qui ne fait intervenir que la notion de voisinage. Voir ICI